Séries infinitas

Numa série numérica, a aplicação verifica primeiro a condição necessária de convergência e depois escolhe um critério conforme a forma da série – série geométrica, Σ 1/nᵖ, critério da razão, da raiz, de comparação por passagem ao limite, do integral ou de Leibniz; numa série alternada distingue convergência absoluta e simples. Quando possível, soma a série. O gráfico mostra os termos e as somas parciais.

Séries numéricas

A aplicação encontra a soma de séries geométricas e telescópicas (de Mengoli), de séries Σ P(n)qⁿ e de séries conhecidas (Σ 1/n² = π²/6); caso contrário, calcula-a numericamente. Uma soma finita calcula-se como na escola – telescópica, aritmética, geométrica, senão termo a termo. Também se resolve uma equação com a soma de uma série geométrica, verificando a condição de convergência |q| < 1.

Como introduzir

`soma(1/n^2)`	O termo geral; o índice n a partir de 1 (também sum).
`soma(1/n^2, n, 1, oo)`	Com o índice e o valor inicial.
`\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}`	A partir de uma fotografia ou em LaTeX.
`1/n^2`	O termo geral com o chip «Série» – escreva o índice inicial no campo.
`soma(2k+1, k, 1, 100)`	Uma soma finita – com o índice, o limite inferior e o superior.

Exemplos

A série Σ 1/n² – converge, a soma é π²/6.

Enunciado: sum(1/n^2)

O critério de Leibniz – converge simplesmente.

Enunciado: sum((-1)^(n+1)/n)

O critério da razão e a soma.

Enunciado: sum(n/2^n)

A condição necessária não se verifica – a série diverge.

Enunciado: sum(n/(n+1))

Soma telescópica – ficam o primeiro e o último termo.

Enunciado: sum(sqrt(2i+1) - sqrt(2i-1), i, 1, 60)

Equação com a soma de uma série geométrica.

Enunciado: sum((2^x)^n, n, 1, oo) = 1

Séries de potências

Numa série de potências, a aplicação encontra o raio de convergência pelo critério da razão, estuda os extremos como séries numéricas e indica o intervalo de convergência; quando possível, também a soma. O gráfico mostra as somas parciais com um cursor para o número de termos.

Exemplos

O intervalo de convergência [−1, 1[.

Enunciado: sum(x^n/n)

Série de Taylor

A série de Taylor de uma função é obtida a partir de desenvolvimentos conhecidos (eˣ, sin x, ln(1 + x), …) por substituição, e a aplicação determina o seu intervalo de convergência.

Como introduzir

taylor(e^x, 0, oo) A função, o ponto e oo em vez do grau; ou o chip «Polinómio de Taylor» → «Série».

Exemplos

A série de ln(1 + x) e o seu intervalo de convergência.

Enunciado: taylor(ln(1 + x), 0, oo)