Séries de Fourier
A aplicação constrói a série de Fourier de uma função num intervalo tomado como um período (sem indicação, em [−π, π]), ou a série de senos ou de cossenos de uma função em [0, L]. A função também pode ser definida por ramos.
Calcula os coeficientes por integrais com toda a resolução (por partes com o parâmetro n), substitui sin nπ = 0 e cos nπ = (−1)ⁿ e aproveita a simetria das funções pares e ímpares. Nos pontos de descontinuidade determina a soma da série pelo teorema de Dirichlet e, substituindo um ponto e com a identidade de Parseval, deduz somas de séries numéricas (como Σ 1/n² = π²/6). O gráfico mostra o prolongamento periódico da função e as somas parciais com um cursor.
Como introduzir
fourier(x^2, -pi, pi) | A função e o intervalo. |
fouriersin(x, 0, pi) | A série de senos (fouriercos – a de cossenos). |
-1, -pi < x < 0 | Uma função definida por ramos, linha a linha, com o chip «Série de Fourier». |
x^2 | Uma função com o chip «Série de Fourier» – aí escolhe o tipo de série e o intervalo. |
Exemplos
Uma função par – só cossenos; as somas Σ 1/n² e Σ 1/n⁴.
Enunciado:
fourier(x^2)
Uma função definida por ramos – saltos e o fenómeno de Gibbs.
Enunciado:
-1, -pi < x < 0
1, 0 < x < pi Série de Fourier
Uma série de senos e a soma 1 − 1/3³ + 1/5³ − … = π³/32.
Enunciado:
fouriersin(x*(pi - x), 0, pi)
Limitações conhecidas
- Uma função não limitada (como ln x em [0, 2π]) não pode ser desenvolvida – a série divergiria no ponto onde a função cresce sem limite.
- Quando os coeficientes conduzem a um integral sem primitiva elementar (ln x em [1, 3]), são expressos com o seno e o cosseno integrais.