Equações diferenciais

A aplicação resolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: de variáveis separáveis, lineares, exatas, homogéneas (y′ = f(y/x)), de Bernoulli e equações y′ = f(ax + by + c). Reconhece o tipo sozinha e mostra o procedimento como na escola – separação de variáveis, variação da constante ou fator integrante, substituição, função potencial de uma equação exata. Os integrais do procedimento têm os seus próprios passos.

Ordens superiores: equações lineares com coeficientes constantes de qualquer ordem pela equação característica (também raízes múltiplas e complexas), uma solução particular pelo lado direito especial (também ressonância e soma de lados direitos) ou por variação das constantes, um problema de valor inicial em zero também pela transformada de Laplace (chip «Método»). Além disso a equação de Euler com x = eᵗ, y⁽ⁿ⁾ = f(x) por integrações sucessivas e a redução da ordem – quando falta y (p = y′) ou x (y′ = p(y)).

A equação y′ = y·(a(x)·ln y + b(x)) torna-se linear com a substituição z = ln y. Uma equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis é resolvida quando se consegue adivinhar uma solução (xᵏ, eᶜˣ, …): a segunda, reduzindo a ordem (d'Alembert), e o lado direito por variação das constantes. A ordem também é reduzida em mais de um (p = y⁽ᵐ⁾ com uma equação de segunda ordem em p). Com parâmetros, os casos são distinguidos: um oscilador amortecido pelo sinal de δ² − ω² (sobreamortecido, crítico, subamortecido), uma ressonância (y″ + ω²y = cos 2t para ω = 2) e o sinal de uma constante de que depende o integral (y″ = 2yy′). A transformada de Laplace resolve também um problema de valor inicial num ponto diferente de 0 (deslocamento τ = t − t₀) e com parâmetros.

O resultado é a solução geral com uma constante C, nas ordens superiores com constantes C₁, C₂, … (explícita, ou implícita onde não pode ser explícita); com condições, a solução que as satisfaz – iniciais e de fronteira, incluindo os casos «sem solução» e «infinitas soluções». Também encontra as soluções constantes perdidas ao dividir. Cada solução é verificada substituindo-a na equação. Na primeira ordem o gráfico mostra o campo de direções e soluções para diferentes C, nas ordens superiores soluções para diferentes constantes; numa equação autónoma de segunda ordem (sem x) um seletor mostra também o plano de fase (y, y′).

Como introduzir

`y' = x*y`	A derivada com linha.
`dy/dx = x y^2`	Notação de Leibniz – indica também a variável (dm/dt, dT/dt).
`\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + x`	Notação de uma foto.
`(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0`	A forma M dx + N dy = 0 (equação exata).
`y' = y^2 + 1, y(0) = 1`	Uma condição inicial após uma vírgula ou na linha seguinte.
`dm/dt = m + 2, m(0) = 0`	A função e a variável podem ser quaisquer letras.
`y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)`	Uma equação de ordem superior – as derivadas com mais plicas.
`y^{(4)} + 2y'' + y = 0`	Derivadas superiores como y^{(4)} (também de uma foto).
`y'' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2`	Condições iniciais y(0), y′(0) – ou de fronteira em pontos diferentes.
`\ddot{x} + \omega^2 x = 0`	Os pontos de Newton (derivadas em ordem ao tempo t) e parâmetros gregos.

Exemplos

Variáveis separáveis – a solução geral e o campo de direções.

Enunciado: y' = x*y

A condição inicial determina a constante C.

Enunciado: y' = y^2 + 1, y(0) = 1

Uma equação linear por variação da constante.

Enunciado: y' + 2y = e^x Variação da constante

A mesma equação com fator integrante.

Enunciado: y' + 2y = e^x Fator integrante

Uma equação homogénea – a substituição u = y/x.

Enunciado: y' = (x - y)/(x + y)

Uma equação de Bernoulli – a substituição z = y^(1−n) e a solução constante y = 0.

Enunciado: xy' - y = -xy^2

Uma equação exata – a função potencial F(x, y) = C.

Enunciado: (2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0

A substituição z = x − y; o Symja perderia aqui um fator 2, a app verifica o resultado.

Enunciado: y' = cos(x - y), y(0) = pi/2

A equação característica com raízes complexas −2 ± 3i.

Enunciado: y'' + 4y' + 13y = 0

Lado direito especial com ressonância – 2 é raiz da equação característica.

Enunciado: y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x) Lado direito especial

O lado direito tan x não é especial – variação das constantes e o wronskiano.

Enunciado: y'' + y = tan x

Um problema de valor inicial – um sistema para as constantes C₁, C₂.

Enunciado: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0

O mesmo problema pela transformada de Laplace.

Enunciado: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0 Transformada de Laplace

Um problema de fronteira com infinitas soluções.

Enunciado: y'' + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0

Equação de Euler – a substituição x = eᵗ.

Enunciado: x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2

A redução y′ = p(y), as constantes das condições iniciais passo a passo.

Enunciado: y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1

Um oscilador amortecido: três casos segundo δ e ω.

Enunciado: y'' + 2δy' + ω^2y = 0

Ressonância: para ω = 2 a solução tem outra forma.

Enunciado: y'' + ω^2y = cos(2t)

Uma solução adivinhada y₁ = x e a redução da ordem (d'Alembert).

Enunciado: (1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0

Limitações conhecidas

Uma equação que precisa de uma indicação do enunciado (diferente de z = ln y) ainda não é resolvida.
Numa equação com parâmetro (k, λ, ω) a aplicação não desenha gráfico e considera os parâmetros positivos.
Quando a solução não se pode exprimir explicitamente, fica na forma implícita.
A transformada de Laplace ainda não conhece a função de Heaviside, os deslocamentos nem os lados direitos periódicos.