Integrais definidos e as suas aplicações
A aplicação calcula um integral definido pela fórmula de Barrow (Newton–Leibniz) e desenha a área sob o gráfico – a parte acima do eixo x de outra cor que a de baixo. Também trata integrais impróprios e aplicações: área, comprimento de curva, volume e área lateral de um sólido de revolução, também para curvas paramétricas e em coordenadas polares.
Integral definido
A aplicação encontra a primitiva como no integral indefinido e substitui os limites. Com uma substituição, transforma logo os limites. Se o integral não tiver primitiva elementar, calcula-o numericamente.
Como introduzir
int(x^2, x, 0, 3) | Um integral com a variável e os limites. |
\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx | A partir de uma fotografia ou em LaTeX. |
x^2 | Uma função com o chip «Integrar» – escreva os limites nos campos. |
Exemplos
int(3x^2 cos(x^3), x, 0, 1)
Integrais impróprios
Um limite infinito ou uma função não limitada são tratados com um limite da primitiva, e a aplicação diz se o integral converge ou diverge. Se esse limite não puder ser calculado, decide por um critério de comparação.
Exemplos
int(1/x^2, x, 1, oo)
int(1/sqrt(x), x, 0, 1)
Área sob uma curva e entre curvas
A área entre um gráfico e o eixo x, ou entre duas curvas, é calculada como o integral do módulo da diferença – as partes acima e abaixo contam ambas como positivas. Não precisa de indicar os limites: são encontrados como os pontos de interseção das curvas.
Como introduzir
área(x^2, x) | A área entre duas curvas, limites a partir dos pontos de interseção. |
área(sin x, 0, pi) | A área entre uma curva e o eixo x num intervalo. |
x^2 | Uma função com o chip «Integrar» → «Área entre curvas»; escreva a segunda curva e os limites nos campos. |
Exemplos
x^2 Área entre curvas, segunda curva x
Comprimento de uma curva
O comprimento de um gráfico num intervalo é calculado pela fórmula l = ∫√(1 + f′²) dx. A aplicação tenta simplificar a raiz (numa semicircunferência obtém-se o arco seno); quando o integral não tem primitiva elementar, o resultado é numérico.
Como introduzir
comprimento(x^(3/2), 0, 4) | O comprimento da curva num intervalo. |
Exemplos
sqrt(1 - x^2) Comprimento de curva, limites −1 e 1
Volume de um sólido de revolução
O volume de um sólido de revolução em torno do eixo x é calculado pela fórmula V = π∫f² dx (entre duas curvas, por anéis), em torno do eixo y pelo método das cascas cilíndricas. A aplicação mostra também o sólido em 3D – rode-o com o dedo.
Como introduzir
volume(sqrt(x), 0, 4) | O volume do sólido obtido por rotação em torno do eixo x. |
volume(x^2, 0, 2, y) | Rotação em torno do eixo y. |
Exemplos
sqrt(x) Volume de um sólido, limites 0 e 4
Área lateral de um sólido de revolução
A área lateral é calculada pela fórmula S = 2π∫f√(1 + f′²) dx; o produto sob a raiz simplifica-se muitas vezes (numa esfera obtém-se uma constante).
Como introduzir
superfície(sqrt(4 - x^2), -2, 2) | A área lateral por rotação em torno do eixo x. |
Exemplos
sqrt(4 - x^2) Superfície de um sólido, limites −2 e 2
Curvas paramétricas e em coordenadas polares
Escreva uma curva x = φ(t), y = ψ(t) em duas linhas, e uma curva em coordenadas polares como r = ρ(φ). O chip «Integrar» oferece então a área, o comprimento, o volume e a superfície; os limites do parâmetro são opcionais (sem eles, de 0 a 2π). O volume e a superfície são calculados rodando em torno do eixo x a parte da curva acima do eixo.
Como introduzir
x = t - sin(t) | Uma curva paramétrica em duas linhas. |
r = 1 + cos(phi) | Uma curva em coordenadas polares (também r^2 = … para uma lemniscata). |
comprimento(x=cos(t)^3, y=sin(t)^3, t, 0, 2pi) | A forma escrita com o parâmetro e os limites. |
Exemplos
x = t - sin(t)
y = 1 - cos(t) Área
r = 1 + cos(phi) Comprimento de curva
Curvas dadas por uma equação
Para uma equação em x e y (x³ + y³ = 3xy), o chip «Integrar» oferece a área, o comprimento, o volume e a superfície. Sem limites, usa toda a curva fechada: a circunferência e a elipse na forma paramétrica com cos e sin, um laço que passa pela origem (o fólio de Descartes) pelas retas y = tx – a área do laço então exatamente a partir dos setores, o comprimento, o volume e a superfície numericamente. Com limites em x, usa o ramo superior y = f(x).
Como introduzir
x^3 + y^3 = 3xy | Uma curva fechada – o chip «Integrar» sem limites. |
y^2 = x^3 | Uma curva não fechada – o chip «Integrar» com limites em x (o ramo superior y = x^(3/2)). |
Exemplos
x^3 + y^3 = 3xy Integrar → Área
Limitações conhecidas
- O comprimento de y = ∛x (e de curvas semelhantes) só é calculado numericamente – conduz a um integral elíptico, que não tem primitiva elementar.
- Nas curvas paramétricas e polares ainda faltam a área colorida e o sólido em 3D; rotação só em torno do eixo x.
- Rotação em torno do eixo y só para uma região de um lado do eixo.
- Nas curvas implícitas sem limites só são suportadas a circunferência, a elipse e um laço que passa pela origem; rotação só em torno do eixo x.