Integrais indefinidos

A aplicação integra com os métodos ensinados na escola e diz em cada passo o que faz. Verifica o resultado derivando (a verificação é o último passo) e desenha a função integranda e a primitiva.

As raízes de potências da variável (∛(x⁴), √(x³)) são reescritas como potências de expoente racional; um valor absoluto (|cos x|, √(1 − sin²x)), com a função sinal sgn.

Se um integral não tiver primitiva elementar (como e^(−x²)), a aplicação di-lo e exprime-a com uma função especial (erf, Si, …).

Como introduzir

int(x e^x, x)Um integral com a variável.
int(x^2 sin x)Sem a variável quando só há uma.
∫ x^2 dxCom o sinal de integral, também a partir de uma fotografia.
x e^xUma função com o chip «Integrar».

Primitivas imediatas e substituição

O integral de uma soma termo a termo, as constantes fora do integral, as primitivas da tabela (também com uma função interior linear) e a substituição quando a função integranda contém uma função juntamente com a derivada do seu interior.

Exemplos

Termo a termo pela tabela.
Enunciado: int(3x^2 - 2/x + e^x)
int(3x^2 - 2/x + e^x)
int(3x^2 - 2/x + e^x)int(3x^2 - 2/x + e^x)
A substituição t = x².
Enunciado: int(2x cos(x^2))
int(2x cos(x^2))
int(2x cos(x^2))int(2x cos(x^2))
Integral com constantes a, b.
Enunciado: int(1/(a - bx)^3)
int(1/(a - bx)^3)

Integração por partes

O produto de um polinómio por uma exponencial, uma função trigonométrica ou um logaritmo é integrado por partes, várias vezes se for preciso; integrais como eˣ sin x por partes de forma cíclica.

Exemplos

Por partes duas vezes seguidas.
Enunciado: int(x^2 e^x)
int(x^2 e^x)
int(x^2 e^x)int(x^2 e^x)

Funções racionais

Uma função racional é dividida se necessário, o denominador é fatorizado e a função decomposta em frações parciais, que são integradas em logaritmos e arcos tangentes.

Um denominador que não se fatoriza nos racionais (x⁴ + 1, x⁵ + 1) é fatorizado nos reais – cada par de raízes complexas conjugadas dá um fator quadrático sem raízes reais.

Exemplos

Decomposição em frações parciais.
Enunciado: int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))
int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))
int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))
Fatorização do denominador x⁴ + 1 nos reais.
Enunciado: int(1/(x^4 + 1))
int(1/(x^4 + 1))
int(1/(x^4 + 1))int(1/(x^4 + 1))int(1/(x^4 + 1))

Funções trigonométricas

Primeiro as fórmulas (sin²x = (1 − cos 2x)/2, produtos em somas), para uma potência ímpar a substituição t = sin x ou t = cos x, para uma função racional de seno e cosseno uma substituição segundo a paridade, e a substituição universal t = tan(x/2) só no fim.

Exemplos

Uma potência ímpar do seno – a substituição t = cos x.
Enunciado: int(sin(x)^3 cos(x)^2)
int(sin(x)^3 cos(x)^2)
int(sin(x)^3 cos(x)^2)int(sin(x)^3 cos(x)^2)

Funções hiperbólicas

Integrais da tabela (∫sinh x dx = cosh x + C, ∫1/cosh²x dx = tanh x + C, …), ∫tanh x dx pelo logaritmo da derivada, por partes (x sinh x, arsinh x), quadrados pelas fórmulas sinh²x = (cosh 2x − 1)/2, tanh²x = 1 − 1/cosh²x; o resto pela definição através de exponenciais.

Exemplos

A fórmula sinh²x = (cosh 2x − 1)/2.
Enunciado: int(sinh(x)^2)
int(sinh(x)^2)

Raízes

Integrais com a raiz de uma função linear fracionária por substituição, com a raiz de um trinómio do 2.º grau por uma substituição de Euler, e integrais binómios segundo as condições de Tchebychev – se nenhuma se verificar, a aplicação diz que o integral não é elementar.

Exemplos

Uma substituição de Euler.
Enunciado: int(sqrt(x^2 + 1))
int(sqrt(x^2 + 1))
int(sqrt(x^2 + 1))int(sqrt(x^2 + 1))int(sqrt(x^2 + 1))

Limitações conhecidas