Equações e inequações com parâmetro

Uma letra na equação além da incógnita é um parâmetro – um número real qualquer de que depende a solução. A aplicação leva a equação à forma A·x = B (uma quadrática a A·x² + B·x + C = 0) e discute a solução consoante os valores do parâmetro: onde o coeficiente da incógnita é zero, onde o discriminante é positivo, zero ou negativo, onde as condições excluem uma raiz e para que valores o problema não faz sentido. O resultado resume os casos.

A aplicação escolhe a incógnita pela ordem x, y, z, u, v, w, t; as outras letras são parâmetros. Escolhe outra incógnita com a etiqueta «Incógnita» ou escreve-a depois de uma vírgula. O gráfico mostra todas as soluções como uma curva (uma região numa inequação) no plano parâmetro–incógnita; escolhe o valor do parâmetro com o controlo deslizante e lê as soluções na reta vertical.

Depois de uma vírgula também pode perguntar pelas raízes: «x^2 + px + 4 = 0, x > 0» – para que p todas as raízes são positivas (a etiqueta «A condição vale para» passa a pelo menos uma raiz), «…, x = 3» – para que p 3 é raiz. Numa equação linear a raiz é substituída na condição; numa quadrática usam-se as fórmulas de Viète. Um sistema de duas equações lineares com parâmetro é resolvido por determinantes (regra de Cramer), com os casos de uma, nenhuma e infinitas soluções. Uma inequação quadrática ou racional é discutida pela ordem dos seus zeros. O cursor do gráfico para exatamente nos valores críticos do parâmetro, que também aparecem por baixo do gráfico.

Num integral indefinido, as outras letras são constantes – a aplicação indica quais não podem ser zero (∫ dx/(a − bx)³ para b ≠ 0).

Como introduzir

Exemplos

Equação linear – sem solução para a = 2.

Enunciado: 2ax + a = 4x

Equação quadrática – discussão pelo discriminante.

Enunciado: x^2 + 6x + p = 0

Inequação – o sinal do coeficiente decide o sentido.

Enunciado: 2x + 2p - 5 < 2px + 7

As duas raízes maiores que 1 – discriminante e fórmulas de Viète.

Enunciado: x^2 - 2px + p + 2 = 0, x > 1

Um sistema com parâmetro – determinantes; as retas intersetam-se, são paralelas ou coincidem.

Enunciado: ax + y = 1
x + ay = 1

Uma inequação racional – pela ordem do zero p e do ponto 1.

Enunciado: (x - p)/(x - 1) > 0

Limitações conhecidas

• A discussão completa por intervalos só com um parâmetro, com vários os casos gerais.
• Perguntas sobre as raízes só em equações lineares e quadráticas; sistemas com parâmetro só de duas equações lineares; um parâmetro dentro de uma raiz ou de um logaritmo, ainda não.