Equações e inequações exponenciais e logarítmicas

Uma equação exponencial é resolvida passando à mesma base, aplicando logaritmos ou por mudança de variável; uma logarítmica, juntando os logaritmos pelas suas propriedades e eliminando o logaritmo, sempre com as condições. As inequações são resolvidas pela monotonia – para uma base menor do que 1, o sentido muda.

Equações com bases diferentes: aˣ + bˣ = cˣ com bases de dois primos (25ˣ + 10ˣ = 4ˣ) são divididas por uma potência e com t = (5/2)ˣ tornam-se quadráticas; os logaritmos de bases diferentes passam a uma só (log₅ x = log₂ x / log₂ 5).

Logaritmos cujas bases são potências de um mesmo número (log₂ x + log₄(x + 2) = 2) são convertidos para uma só base (log₄ a = log₂ a / 2), a equação é multiplicada e os logaritmos agrupados. Um logaritmo com a incógnita na base (logₓ 8 = 3) é eliminado pela definição (x³ = 8) com as condições x > 0, x ≠ 1. Uma equação com a incógnita na base e no expoente (x^(log x) = 100) é resolvida aplicando logaritmos e a substituição t = log x. Inequações com a substituição t = log(x + 1) e sistemas de inequações logarítmicas e exponenciais são resolvidos como inequações isoladas – pela monotonia.

Equações e inequações com funções hiperbólicas são reescritas pela definição (sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, …) como exponenciais e resolvidas pela substituição t = eˣ; arsinh x = c pela função inversa (x = sinh c).

Exemplos

A mudança de variável t = 2ˣ.

Enunciado: 4^x - 3*2^x - 4 = 0

Juntar logaritmos, condições.

Enunciado: log_2(x+1) + log_2(x-1) = 3

Bases diferentes: dividimos por 4ᵈ e substituímos t = (5/2)ᵈ.

Enunciado: 25^d + 10^d = 4^d

Base menor do que 1 – o sentido da desigualdade muda.

Enunciado: (1/2)^x > 8

Tangente hiperbólica pela definição – substituição t = e²ˣ.

Enunciado: tanh x = 1/2

A incógnita na base – pela definição; a raiz −1 não satisfaz as condições.

Enunciado: log_x (2x+3) = 2

A incógnita na base e no expoente – aplicamos logaritmos, substituição t = log x.

Enunciado: x^(log x) = 100

Limitações conhecidas

• Logaritmos de bases diferentes que não são potências de um mesmo número (log₂ x + log₃(x + 1) = 2) são resolvidos apenas numericamente.
• Equações hiperbólicas que levam a uma equação do 4.º grau em eˣ (cosh²x − 3 sinh x = 3) só são resolvidas numericamente; inequações com funções hiperbólicas inversas ainda não são suportadas.