Integrales indefinidas

La aplicación integra con los métodos que se enseñan en clase y dice en cada paso qué hace. Comprueba el resultado derivando (la comprobación es el último paso) y dibuja el integrando y la primitiva.

Las raíces de potencias de la variable (∛(x⁴), √(x³)) se escriben como potencias de exponente racional; un valor absoluto (|cos x|, √(1 − sin²x)), con la función signo sgn.

Si una integral no tiene primitiva elemental (como e^(−x²)), la aplicación lo dice y la expresa mediante una función especial (erf, Si, …).

Cómo introducirlo

`int(x e^x, x)`	Una integral con la variable.
`int(x^2 sin x)`	Sin la variable cuando solo hay una.
`∫ x^2 dx`	Con el signo de integral, también desde una foto.
`x e^x`	Una función con el chip «Integrar».

Integrales inmediatas y cambio de variable

La integral de una suma término a término, las constantes fuera de la integral, las integrales de la tabla (también con una función interior lineal) y el cambio de variable cuando el integrando contiene una función junto con la derivada de su interior.

Ejemplos

Término a término según la tabla.

Enunciado: int(3x^2 - 2/x + e^x)

El cambio de variable t = x².

Enunciado: int(2x cos(x^2))

Integral con constantes a, b.

Enunciado: int(1/(a - bx)^3)

Integración por partes

El producto de un polinomio por una exponencial, una función trigonométrica o un logaritmo la aplicación lo integra por partes, varias veces si hace falta; integrales como eˣ sin x por partes cíclicamente.

Ejemplos

Por partes dos veces seguidas.

Enunciado: int(x^2 e^x)

Funciones racionales

Una función racional la aplicación la divide si es necesario, factoriza el denominador y la descompone en fracciones simples, que integra en logaritmos y arcotangentes.

Un denominador que no se puede factorizar en los racionales (x⁴ + 1, x⁵ + 1) lo factoriza en los reales: cada par de raíces complejas conjugadas da un factor cuadrático sin raíces reales.

Ejemplos

Descomposición en fracciones simples.

Enunciado: int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))

Factorización del denominador x⁴ + 1 en los reales.

Enunciado: int(1/(x^4 + 1))

Funciones trigonométricas

Primero las fórmulas (sin²x = (1 − cos 2x)/2, productos en sumas), con una potencia impar el cambio t = sin x o t = cos x, con una función racional de seno y coseno un cambio según la paridad, y el cambio universal t = tan(x/2) solo al final.

Ejemplos

Una potencia impar del seno – el cambio t = cos x.

Enunciado: int(sin(x)^3 cos(x)^2)

Funciones hiperbólicas

Integrales de la tabla (∫sinh x dx = cosh x + C, ∫1/cosh²x dx = tanh x + C, …), ∫tanh x dx por el logaritmo de la derivada, por partes (x sinh x, arsinh x), cuadrados por las fórmulas sinh²x = (cosh 2x − 1)/2, tanh²x = 1 − 1/cosh²x; el resto por la definición mediante exponenciales.

Ejemplos

La fórmula sinh²x = (cosh 2x − 1)/2.

Enunciado: int(sinh(x)^2)

Raíces

Integrales con la raíz de una función lineal fraccionaria por cambio de variable, con la raíz de un trinomio de segundo grado por un cambio de Euler, e integrales binomias según las condiciones de Chebyshov – si no se cumple ninguna, la aplicación dice que la integral no es elemental.

Ejemplos

Un cambio de Euler.

Enunciado: int(sqrt(x^2 + 1))

Limitaciones conocidas

Para algunas integrales encontramos el resultado sin procedimiento – la aplicación lo indica en los pasos.
Un cálculo sin pasos que tarda demasiado se detiene – la aplicación lo indica.