Integrales definidas y sus aplicaciones
La aplicación calcula una integral definida con la regla de Barrow y dibuja el área bajo la gráfica – la parte sobre el eje x de otro color que la de debajo. También resuelve integrales impropias y aplicaciones: área, longitud de curva, volumen y área lateral de un sólido de revolución, también para curvas en forma paramétrica y en coordenadas polares.
Integral definida
La aplicación halla la primitiva como en la integral indefinida y sustituye los límites. Con un cambio de variable transforma los límites directamente. Si la integral no tiene primitiva elemental, la calcula numéricamente.
Cómo introducirlo
int(x^2, x, 0, 3) | Una integral con la variable y los límites. |
\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx | Desde una foto o en LaTeX. |
x^2 | Una función con el chip «Integrar» – escribe los límites en los campos. |
Ejemplos
int(3x^2 cos(x^3), x, 0, 1)
Integrales impropias
Un límite infinito o una función no acotada la aplicación los trata con un límite de la primitiva y dice si la integral converge o diverge. Si ese límite no se puede calcular, decide con un criterio de comparación.
Ejemplos
int(1/x^2, x, 1, oo)
int(1/sqrt(x), x, 0, 1)
Área bajo una curva y entre curvas
El área entre una gráfica y el eje x, o entre dos curvas, la aplicación la calcula como la integral del valor absoluto de la diferencia – las partes de arriba y de abajo cuentan ambas en positivo. No hace falta dar los límites: los encuentra como los puntos de corte de las curvas.
Cómo introducirlo
área(x^2, x) | El área entre dos curvas, límites a partir de los puntos de corte. |
área(sin x, 0, pi) | El área entre una curva y el eje x en un intervalo. |
x^2 | Una función con el chip «Integrar» → «Área entre curvas»; escribe la segunda curva y los límites en los campos. |
Ejemplos
x^2 Área entre curvas, segunda curva x
Longitud de una curva
La longitud de una gráfica en un intervalo la aplicación la calcula con la fórmula l = ∫√(1 + f′²) dx. Intenta simplificar la raíz (en una semicircunferencia sale el arcoseno); cuando la integral no tiene primitiva elemental, el resultado es numérico.
Cómo introducirlo
longitud(x^(3/2), 0, 4) | La longitud de la curva en un intervalo. |
Ejemplos
sqrt(1 - x^2) Longitud de curva, límites −1 y 1
Volumen de un sólido de revolución
El volumen de un sólido de revolución alrededor del eje x la aplicación lo calcula con la fórmula V = π∫f² dx (entre dos curvas, por arandelas), alrededor del eje y por el método de las capas cilíndricas. También muestra el sólido en 3D – gíralo con el dedo.
Cómo introducirlo
volumen(sqrt(x), 0, 4) | El volumen del sólido al girar alrededor del eje x. |
volumen(x^2, 0, 2, y) | Giro alrededor del eje y. |
Ejemplos
sqrt(x) Volumen de un sólido, límites 0 y 4
Área lateral de un sólido de revolución
El área lateral la aplicación la calcula con la fórmula S = 2π∫f√(1 + f′²) dx; el producto bajo la raíz a menudo se simplifica (en una esfera sale una constante).
Cómo introducirlo
superficie(sqrt(4 - x^2), -2, 2) | El área lateral al girar alrededor del eje x. |
Ejemplos
sqrt(4 - x^2) Superficie de un sólido, límites −2 y 2
Curvas paramétricas y en coordenadas polares
Escribe una curva x = φ(t), y = ψ(t) en dos líneas, y una curva en coordenadas polares como r = ρ(φ). El chip «Integrar» ofrece entonces el área, la longitud, el volumen y la superficie; los límites del parámetro son opcionales (sin ellos, de 0 a 2π). El volumen y la superficie se calculan girando alrededor del eje x la parte de la curva situada sobre el eje.
Cómo introducirlo
x = t - sin(t) | Una curva paramétrica en dos líneas. |
r = 1 + cos(phi) | Una curva en coordenadas polares (también r^2 = … para una lemniscata). |
longitud(x=cos(t)^3, y=sin(t)^3, t, 0, 2pi) | La forma escrita con el parámetro y los límites. |
Ejemplos
x = t - sin(t)
y = 1 - cos(t) Área
r = 1 + cos(phi) Longitud de curva
Curvas dadas por una ecuación
Para una ecuación en x e y (x³ + y³ = 3xy) el chip «Integrar» ofrece el área, la longitud, el volumen y la superficie. Sin límites toma toda la curva cerrada: la circunferencia y la elipse en forma paramétrica con cos y sin, un lazo que pasa por el origen (el folium de Descartes) mediante las rectas y = tx – el área del lazo entonces de forma exacta a partir de los sectores, la longitud, el volumen y la superficie numéricamente. Con límites en x usa la rama superior y = f(x).
Cómo introducirlo
x^3 + y^3 = 3xy | Una curva cerrada – el chip «Integrar» sin límites. |
y^2 = x^3 | Una curva no cerrada – el chip «Integrar» con límites en x (la rama superior y = x^(3/2)). |
Ejemplos
x^3 + y^3 = 3xy Integrar → Área
Limitaciones conocidas
- La longitud de y = ∛x (y de curvas parecidas) solo se calcula numéricamente – lleva a una integral elíptica, que no tiene primitiva elemental.
- En las curvas paramétricas y polares todavía faltan el área coloreada y el sólido en 3D; giro solo alrededor del eje x.
- El giro alrededor del eje y solo para una región a un lado del eje.
- En las curvas implícitas sin límites solo se admiten la circunferencia, la elipse y un lazo que pasa por el origen; giro solo alrededor del eje x.