Series infinitas

En una serie numérica la aplicación comprueba primero la condición necesaria de convergencia y luego elige un criterio según la forma de la serie – serie geométrica, Σ 1/nᵖ, criterio del cociente, de la raíz, de comparación por paso al límite, de la integral o de Leibniz; en una serie alternada distingue la convergencia absoluta de la condicional. Cuando es posible, suma la serie. La gráfica muestra los términos y las sumas parciales.

Series numéricas

La aplicación halla la suma de series geométricas y telescópicas, de series Σ P(n)qⁿ y de series conocidas (Σ 1/n² = π²/6); en otro caso la calcula numéricamente. Una suma finita se calcula como en el colegio – telescópica, aritmética, geométrica, si no término a término. También se resuelve una ecuación con la suma de una serie geométrica, comprobando la condición de convergencia |q| < 1.

Cómo introducirlo

suma(1/n^2)El término general; el índice n desde 1 (también sum).
suma(1/n^2, n, 1, oo)Con el índice y el valor inicial.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}Desde una foto o en LaTeX.
1/n^2El término general con el chip «Serie» – escribe el índice inicial en el campo.
suma(2k+1, k, 1, 100)Una suma finita – con el índice, el límite inferior y el superior.

Ejemplos

La serie Σ 1/n² – converge, la suma es π²/6.
Enunciado: sum(1/n^2)
sum(1/n^2)
sum(1/n^2)sum(1/n^2)
El criterio de Leibniz – convergencia condicional.
Enunciado: sum((-1)^(n+1)/n)
sum((-1)^(n+1)/n)
sum((-1)^(n+1)/n)sum((-1)^(n+1)/n)
El criterio del cociente y la suma.
Enunciado: sum(n/2^n)
sum(n/2^n)
sum(n/2^n)sum(n/2^n)
No se cumple la condición necesaria – la serie diverge.
Enunciado: sum(n/(n+1))
sum(n/(n+1))
sum(n/(n+1))sum(n/(n+1))
Suma telescópica – quedan el primer y el último término.
Enunciado: sum(sqrt(2i+1) - sqrt(2i-1), i, 1, 60)
sum(sqrt(2i+1) - sqrt(2i-1), i, 1, 60)
Ecuación con la suma de una serie geométrica.
Enunciado: sum((2^x)^n, n, 1, oo) = 1
sum((2^x)^n, n, 1, oo) = 1

Series de potencias

En una serie de potencias la aplicación halla el radio de convergencia con el criterio del cociente, estudia los extremos como series numéricas e indica el intervalo de convergencia; cuando es posible, también la suma. La gráfica muestra las sumas parciales con un deslizador para el número de términos.

Ejemplos

El intervalo de convergencia [−1, 1).
Enunciado: sum(x^n/n)
sum(x^n/n)
sum(x^n/n)sum(x^n/n)

Serie de Taylor

La serie de Taylor de una función la aplicación la deduce de desarrollos conocidos (eˣ, sin x, ln(1 + x), …) por sustitución y determina su intervalo de convergencia.

Cómo introducirlo

taylor(e^x, 0, oo)La función, el punto y oo en lugar del grado; o el chip «Polinomio de Taylor» → «Serie».

Ejemplos

La serie de ln(1 + x) y su intervalo de convergencia.
Enunciado: taylor(ln(1 + x), 0, oo)
taylor(ln(1 + x), 0, oo)
taylor(ln(1 + x), 0, oo)taylor(ln(1 + x), 0, oo)