Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen

Die App führt eine Gleichung auf Grundgleichungen wie sin x = a zurück und löst sie am Einheitskreis: Sie findet die Winkel einer Umdrehung und addiert Vielfache der Periode (x = π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ). Der Kreis ist direkt im Lösungsweg gezeichnet.

Bevorzugt werden die bekannten Formeln – doppelter und halber Winkel, sin²x + cos²x = 1, Summe in Produkt –, dann Ausklammern, die Substitution t = sin x, das Dividieren einer homogenen Gleichung durch cosⁿx und der Hilfswinkel bei a·sin x + b·cos x = c. Das Ergebnis wird zusätzlich numerisch über eine ganze Periode geprüft.

Eine Unbekannte mit lateinischem Buchstaben (x, t) ist im Bogenmaß, mit griechischem (alpha, β, …) in Grad – ebenso eine Eingabe mit dem Zeichen ° (sin(x + 30°)). Die Lösungen in einem Intervall erhalten Sie, wenn Sie das Intervall nach einem Komma oder in die nächste Zeile schreiben.

Eine Ungleichung wird über einen Bogen des Einheitskreises gelöst, eine kompliziertere über die Nullstellen auf einer Periode; das Ergebnis sind Intervalle mit der Periode.

Beispiele

Zwei Lösungszweige, die Winkel am Einheitskreis.
Eingabe: sin x = 1/2
sin x = 1/2
sin x = 1/2sin x = 1/2
Die Substitution t = sin x und eine quadratische Gleichung.
Eingabe: 2sin^2 x - sin x - 1 = 0
2sin^2 x - sin x - 1 = 0
2sin^2 x - sin x - 1 = 02sin^2 x - sin x - 1 = 02sin^2 x - sin x - 1 = 0
Die Formel für sin 2x und die Zerlegung in ein Produkt.
Eingabe: sin 2x = cos x
sin 2x = cos x
sin 2x = cos xsin 2x = cos xsin 2x = cos xsin 2x = cos x
Der Hilfswinkel: sin x + cos x = √2·sin(x + π/4).
Eingabe: sin x + cos x = 1
sin x + cos x = 1
sin x + cos x = 1sin x + cos x = 1sin x + cos x = 1
Ein griechischer Buchstabe – das Ergebnis in Grad.
Eingabe: sin alpha + cos alpha = sqrt(2)
sin alpha + cos alpha = sqrt(2)
sin alpha + cos alpha = sqrt(2)sin alpha + cos alpha = sqrt(2)
Nur die Lösungen im angegebenen Intervall.
Eingabe: sin x = 1/2, x ∈ <0; 4pi)
sin x = 1/2, x ∈ <0; 4pi)
sin x = 1/2, x ∈ <0; 4pi)sin x = 1/2, x ∈ <0; 4pi)sin x = 1/2, x ∈ <0; 4pi)
Ein Bogen des Einheitskreises, ein Intervall um null.
Eingabe: cos x > 1/2
cos x > 1/2
cos x > 1/2cos x > 1/2
Die Nullstellen auf einer Periode und das Vorzeichen dazwischen.
Eingabe: 2sin^2 x - sin x - 1 > 0
2sin^2 x - sin x - 1 > 0
2sin^2 x - sin x - 1 > 02sin^2 x - sin x - 1 > 02sin^2 x - sin x - 1 > 0

Bekannte Einschränkungen