Unendliche Reihen

Bei einer Zahlenreihe prüft die App zuerst das notwendige Konvergenzkriterium (Nullfolge) und wählt dann ein Kriterium nach der Form der Reihe – geometrische Reihe, Σ 1/nᵖ, Quotienten-, Wurzel-, Grenzwertvergleichs-, Integral- oder Leibniz-Kriterium; bei einer alternierenden Reihe unterscheidet sie absolute und bedingte Konvergenz. Wo es geht, summiert sie die Reihe. Der Graph zeigt die Glieder und die Partialsummen.

Zahlenreihen

Die Summe findet die App bei geometrischen und Teleskopreihen, bei Reihen Σ P(n)qⁿ und bei bekannten Reihen (Σ 1/n² = π²/6); sonst berechnet sie sie numerisch. Eine endliche Summe wird wie in der Schule berechnet – Teleskopsumme, arithmetisch, geometrisch, sonst Glied für Glied. Auch eine Gleichung mit der Summe einer geometrischen Reihe wird gelöst und die Konvergenzbedingung |q| < 1 geprüft.

Eingabe

summe(1/n^2)Das allgemeine Glied; der Index n ab 1 (auch sum).
summe(1/n^2, n, 1, oo)Mit Index und Startwert.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}Vom Foto oder in LaTeX.
1/n^2Das allgemeine Glied mit dem Chip „Reihe“ – den Startindex in das Feld eintragen.
summe(2k+1, k, 1, 100)Eine endliche Summe – mit Index, unterer und oberer Grenze.

Beispiele

Die Reihe Σ 1/n² – konvergiert, Summe π²/6.
Eingabe: sum(1/n^2)
sum(1/n^2)
sum(1/n^2)sum(1/n^2)
Das Leibniz-Kriterium – bedingt konvergent.
Eingabe: sum((-1)^(n+1)/n)
sum((-1)^(n+1)/n)
sum((-1)^(n+1)/n)sum((-1)^(n+1)/n)
Das Quotientenkriterium und die Summe.
Eingabe: sum(n/2^n)
sum(n/2^n)
sum(n/2^n)sum(n/2^n)
Das notwendige Kriterium ist nicht erfüllt – die Reihe divergiert.
Eingabe: sum(n/(n+1))
sum(n/(n+1))
sum(n/(n+1))sum(n/(n+1))
Teleskopsumme – das erste und das letzte Glied bleiben.
Eingabe: sum(sqrt(2i+1) - sqrt(2i-1), i, 1, 60)
sum(sqrt(2i+1) - sqrt(2i-1), i, 1, 60)
Gleichung mit der Summe einer geometrischen Reihe.
Eingabe: sum((2^x)^n, n, 1, oo) = 1
sum((2^x)^n, n, 1, oo) = 1

Potenzreihen

Bei einer Potenzreihe bestimmt die App den Konvergenzradius mit dem Quotientenkriterium, untersucht die Randpunkte als Zahlenreihen und gibt den Konvergenzbereich an; wo es geht, auch die Summe. Der Graph zeigt die Partialsummen mit einem Schieberegler für die Anzahl der Glieder.

Beispiele

Der Konvergenzbereich [−1; 1).
Eingabe: sum(x^n/n)
sum(x^n/n)
sum(x^n/n)sum(x^n/n)

Taylorreihe

Die Taylorreihe einer Funktion leitet die App aus bekannten Entwicklungen (eˣ, sin x, ln(1 + x), …) durch Einsetzen her und bestimmt ihren Konvergenzbereich.

Eingabe

taylor(e^x, 0, oo)Funktion, Stelle und oo statt des Grades; oder der Chip „Taylorpolynom“ → „Reihe“.

Beispiele

Die Reihe von ln(1 + x) und ihr Konvergenzbereich.
Eingabe: taylor(ln(1 + x), 0, oo)
taylor(ln(1 + x), 0, oo)
taylor(ln(1 + x), 0, oo)taylor(ln(1 + x), 0, oo)