Fourierreihen
Die App stellt die Fourierreihe einer Funktion auf einem Intervall als einer Periode auf (ohne Angabe auf [−π; π]) oder die Sinus- bzw. Kosinusreihe einer Funktion auf [0; L]. Die Funktion kann auch stückweise gegeben sein.
Die Koeffizienten berechnet sie über Integrale mit vollständigem Lösungsweg (partielle Integration mit dem Parameter n), setzt sin nπ = 0 und cos nπ = (−1)ⁿ ein und nutzt bei geraden und ungeraden Funktionen die Symmetrie. An Sprungstellen bestimmt sie die Summe der Reihe nach dem Satz von Dirichlet, und durch Einsetzen eines Punktes und mit der Parsevalschen Gleichung leitet sie Summen von Zahlenreihen her (etwa Σ 1/n² = π²/6). Der Graph zeigt die periodische Fortsetzung der Funktion und die Partialsummen mit einem Schieberegler.
Eingabe
fourier(x^2, -pi, pi) | Funktion und Intervall. |
fouriersin(x, 0, pi) | Die Sinusreihe (fouriercos – die Kosinusreihe). |
-1, -pi < x < 0 | Eine stückweise Funktion zeilenweise, mit dem Chip „Fourierreihe“. |
x^2 | Eine Funktion mit dem Chip „Fourierreihe“ – Art der Reihe und Intervall wählen Sie dort. |
Beispiele
fourier(x^2)
-1, -pi < x < 0
1, 0 < x < pi Fourierreihe
fouriersin(x*(pi - x), 0, pi)
Bekannte Einschränkungen
- Eine unbeschränkte Funktion (etwa ln x auf [0; 2π]) lässt sich nicht entwickeln – die Reihe würde an der Stelle divergieren, an der die Funktion über alle Grenzen wächst.
- Führen die Koeffizienten auf ein Integral ohne elementare Stammfunktion (ln x auf [1; 3]), werden sie mit dem Integralsinus und Integralkosinus ausgedrückt.