Differentialgleichungen

Die App löst gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung: separierbare, lineare, exakte, homogene (y′ = f(y/x)), Bernoullische Gleichungen und Gleichungen y′ = f(ax + by + c). Sie erkennt den Typ selbst und zeigt den Lösungsweg wie in der Schule – Trennung der Variablen, Variation der Konstanten oder integrierender Faktor, Substitution, Stammfunktion einer exakten Gleichung. Die Integrale im Lösungsweg haben eigene Schritte.

Höhere Ordnungen: lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten beliebiger Ordnung über die charakteristische Gleichung (auch mehrfache und komplexe Nullstellen), eine partikuläre Lösung nach der speziellen rechten Seite (auch Resonanz und Summe rechter Seiten) oder durch Variation der Konstanten, ein Anfangswertproblem in null auch mit der Laplace-Transformation (Chip „Methode“). Außerdem die Eulersche Gleichung mit x = eᵗ, y⁽ⁿ⁾ = f(x) durch wiederholtes Integrieren und die Reduktion der Ordnung – wenn y fehlt (p = y′) oder x (y′ = p(y)).

Die Gleichung y′ = y·(a(x)·ln y + b(x)) wird durch die Substitution z = ln y linear. Eine lineare Gleichung 2. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten wird gelöst, wenn sich eine Lösung erraten lässt (xᵏ, eᶜˣ, …): die zweite durch Reduktion der Ordnung (d'Alembert), die rechte Seite durch Variation der Konstanten. Die Ordnung wird auch um mehr als eins reduziert (p = y⁽ᵐ⁾ mit einer Gleichung 2. Ordnung für p). Bei Parametern werden Fälle unterschieden – ein gedämpfter Oszillator nach dem Vorzeichen von δ² − ω² (Kriechfall, aperiodischer Grenzfall, Schwingfall), eine Resonanz (y″ + ω²y = cos 2t für ω = 2) und das Vorzeichen einer Konstanten, von dem das Integral abhängt (y″ = 2yy′). Die Laplace-Transformation löst auch Anfangswertprobleme an einer anderen Stelle als 0 (Verschiebung τ = t − t₀) und mit Parametern.

Das Ergebnis ist die allgemeine Lösung mit einer Konstanten C, bei höheren Ordnungen mit Konstanten C₁, C₂, … (explizit, wo das nicht geht, implizit); mit Bedingungen die Lösung, die sie erfüllt – Anfangs- und Randbedingungen, auch die Fälle „keine Lösung“ und „unendlich viele Lösungen“. Durch Division verlorene konstante Lösungen findet die App ebenfalls. Jede Lösung wird durch Einsetzen in die Gleichung geprüft. Der Graph zeigt bei 1. Ordnung das Richtungsfeld und Lösungen für verschiedene C, bei höheren Ordnungen Lösungen für verschiedene Konstanten; bei einer autonomen Gleichung 2. Ordnung (ohne x) zeigt ein Umschalter auch die Phasenebene (y, y′).

Eingabe

`y' = x*y`	Die Ableitung mit Strich.
`dy/dx = x y^2`	Leibniz-Schreibweise – sie nennt auch die Variable (dm/dt, dT/dt).
`\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + x`	Schreibweise aus einem Foto.
`(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0`	Die Form M dx + N dy = 0 (exakte Gleichung).
`y' = y^2 + 1, y(0) = 1`	Eine Anfangsbedingung nach einem Komma oder in der nächsten Zeile.
`dm/dt = m + 2, m(0) = 0`	Funktion und Variable können beliebige Buchstaben sein.
`y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)`	Eine Gleichung höherer Ordnung – die Ableitungen mit mehreren Strichen.
`y^{(4)} + 2y'' + y = 0`	Höhere Ableitungen als y^{(4)} (auch vom Foto).
`y'' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2`	Anfangsbedingungen y(0), y′(0) – oder Randbedingungen in verschiedenen Punkten.
`\ddot{x} + \omega^2 x = 0`	Newtons Punkte (Ableitungen nach der Zeit t) und griechische Parameter.

Beispiele

Getrennte Variablen – die allgemeine Lösung und das Richtungsfeld.

Eingabe: y' = x*y

Die Anfangsbedingung bestimmt die Konstante C.

Eingabe: y' = y^2 + 1, y(0) = 1

Eine lineare Gleichung durch Variation der Konstanten.

Eingabe: y' + 2y = e^x Variation der Konstanten

Dieselbe Gleichung mit integrierendem Faktor.

Eingabe: y' + 2y = e^x Integrierender Faktor

Eine homogene Gleichung – die Substitution u = y/x.

Eingabe: y' = (x - y)/(x + y)

Eine Bernoullische Gleichung – die Substitution z = y^(1−n) und die konstante Lösung y = 0.

Eingabe: xy' - y = -xy^2

Eine exakte Gleichung – die Stammfunktion F(x, y) = C.

Eingabe: (2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0

Die Substitution z = x − y; Symja würde hier einen Faktor 2 verlieren, die App prüft das Ergebnis.

Eingabe: y' = cos(x - y), y(0) = pi/2

Die charakteristische Gleichung mit komplexen Nullstellen −2 ± 3i.

Eingabe: y'' + 4y' + 13y = 0

Spezielle rechte Seite mit Resonanz – 2 ist Nullstelle der charakteristischen Gleichung.

Eingabe: y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x) Spezielle rechte Seite

Die rechte Seite tan x ist nicht speziell – Variation der Konstanten und Wronski-Determinante.

Eingabe: y'' + y = tan x

Ein Anfangswertproblem – ein System für die Konstanten C₁, C₂.

Eingabe: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0

Dieselbe Aufgabe mit der Laplace-Transformation.

Eingabe: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0 Laplace-Transformation

Ein Randwertproblem mit unendlich vielen Lösungen.

Eingabe: y'' + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0

Eulersche Gleichung – die Substitution x = eᵗ.

Eingabe: x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2

Reduktion y′ = p(y), die Konstanten schrittweise aus den Anfangsbedingungen.

Eingabe: y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1

Ein gedämpfter Oszillator – drei Fälle nach δ und ω.

Eingabe: y'' + 2δy' + ω^2y = 0

Resonanz – für ω = 2 hat die Lösung eine andere Form.

Eingabe: y'' + ω^2y = cos(2t)

Eine erratene Lösung y₁ = x und Reduktion der Ordnung (d'Alembert).

Eingabe: (1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0

Bekannte Einschränkungen

Eine Gleichung, die einen Hinweis aus der Aufgabe braucht (außer z = ln y), wird noch nicht gelöst.
Bei einer Gleichung mit Parameter (k, λ, ω) zeichnet die App keinen Graphen und nimmt die Parameter als positiv an.
Wo sich die Lösung nicht explizit ausdrücken lässt, bleibt sie implizit.
Die Laplace-Transformation kennt die Heaviside-Funktion, Verschiebungen und periodische rechte Seiten noch nicht.