Bestimmte Integrale und ihre Anwendungen
Ein bestimmtes Integral berechnet die App mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und zeichnet die Fläche unter dem Graphen – den Teil oberhalb der x-Achse in einer anderen Farbe als den Teil darunter. Sie kann auch uneigentliche Integrale und Anwendungen: Fläche, Bogenlänge, Volumen und Mantelfläche eines Rotationskörpers, auch für Kurven in Parameterform und in Polarkoordinaten.
Bestimmtes Integral
Die Stammfunktion findet die App wie beim unbestimmten Integral und setzt die Grenzen ein. Bei einer Substitution rechnet sie die Grenzen gleich um. Hat das Integral keine elementare Stammfunktion, berechnet sie es numerisch.
Eingabe
int(x^2, x, 0, 3) | Ein Integral mit Variable und Grenzen. |
\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx | Vom Foto oder in LaTeX. |
x^2 | Eine Funktion mit dem Chip „Integrieren“ – die Grenzen in die Felder eintragen. |
Beispiele
int(3x^2 cos(x^3), x, 0, 1)
Uneigentliche Integrale
Eine unendliche Grenze oder eine unbeschränkte Funktion behandelt die App mit einem Grenzwert der Stammfunktion und sagt, ob das Integral konvergiert oder divergiert. Lässt sich dieser Grenzwert nicht berechnen, entscheidet sie mit einem Vergleichskriterium.
Beispiele
int(1/x^2, x, 1, oo)
int(1/sqrt(x), x, 0, 1)
Fläche unter einer Kurve und zwischen Kurven
Die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse oder zwischen zwei Kurven berechnet die App als Integral des Betrags der Differenz – Teile oberhalb und unterhalb zählen beide positiv. Die Grenzen müssen Sie nicht angeben: sie findet sie als Schnittpunkte der Kurven.
Eingabe
fläche(x^2, x) | Die Fläche zwischen zwei Kurven, Grenzen aus den Schnittpunkten. |
fläche(sin x, 0, pi) | Die Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse auf einem Intervall. |
x^2 | Eine Funktion mit dem Chip „Integrieren“ → „Fläche zwischen Kurven“; zweite Kurve und Grenzen in die Felder eintragen. |
Beispiele
x^2 Fläche zwischen Kurven, zweite Kurve x
Bogenlänge
Die Länge eines Graphen auf einem Intervall berechnet die App mit der Formel l = ∫√(1 + f′²) dx. Sie versucht, die Wurzel zu vereinfachen (beim Halbkreis ergibt sich der Arkussinus); hat das Integral keine elementare Stammfunktion, ist das Ergebnis numerisch.
Eingabe
länge(x^(3/2), 0, 4) | Die Bogenlänge auf einem Intervall. |
Beispiele
sqrt(1 - x^2) Bogenlänge, Grenzen −1 und 1
Volumen eines Rotationskörpers
Das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse berechnet die App mit der Formel V = π∫f² dx (zwischen zwei Kurven als Kreisringe), um die y-Achse mit der Zylindermantelmethode. Den Körper zeigt sie auch in 3D – drehen Sie ihn mit dem Finger.
Eingabe
volumen(sqrt(x), 0, 4) | Das Volumen des Körpers bei Rotation um die x-Achse. |
volumen(x^2, 0, 2, y) | Rotation um die y-Achse. |
Beispiele
sqrt(x) Volumen eines Körpers, Grenzen 0 und 4
Mantelfläche eines Rotationskörpers
Die Mantelfläche berechnet die App mit der Formel S = 2π∫f√(1 + f′²) dx; das Produkt unter der Wurzel vereinfacht sich oft (bei der Kugel ergibt sich eine Konstante).
Eingabe
oberfläche(sqrt(4 - x^2), -2, 2) | Die Mantelfläche bei Rotation um die x-Achse. |
Beispiele
sqrt(4 - x^2) Oberfläche eines Körpers, Grenzen −2 und 2
Kurven in Parameterform und in Polarkoordinaten
Eine Kurve x = φ(t), y = ψ(t) schreiben Sie auf zwei Zeilen, eine Kurve in Polarkoordinaten als r = ρ(φ). Der Chip „Integrieren“ bietet dann Fläche, Länge, Volumen und Mantelfläche an; die Grenzen des Parameters sind optional (ohne sie von 0 bis 2π). Volumen und Mantelfläche berechnet die App durch Rotation des Kurventeils oberhalb der x-Achse um die x-Achse.
Eingabe
x = t - sin(t) | Eine Kurve in Parameterform auf zwei Zeilen. |
r = 1 + cos(phi) | Eine Kurve in Polarkoordinaten (auch r^2 = … für eine Lemniskate). |
länge(x=cos(t)^3, y=sin(t)^3, t, 0, 2pi) | Die geschriebene Form mit Parameter und Grenzen. |
Beispiele
x = t - sin(t)
y = 1 - cos(t) Fläche
r = 1 + cos(phi) Bogenlänge
Durch eine Gleichung gegebene Kurven
Bei einer Gleichung in x und y (x³ + y³ = 3xy) bietet der Chip „Integrieren“ Fläche, Länge, Volumen und Mantelfläche an. Ohne Grenzen nimmt er die ganze geschlossene Kurve: Kreis und Ellipse in Parameterform über cos und sin, eine Schleife durch den Ursprung (das kartesische Blatt) über die Geraden y = tx – den Flächeninhalt der Schleife dann exakt aus den Sektoren, Länge, Volumen und Mantelfläche numerisch. Mit Grenzen in x verwendet er den oberen Zweig y = f(x).
Eingabe
x^3 + y^3 = 3xy | Eine geschlossene Kurve – der Chip „Integrieren“ ohne Grenzen. |
y^2 = x^3 | Eine nicht geschlossene Kurve – der Chip „Integrieren“ mit Grenzen in x (der obere Zweig y = x^(3/2)). |
Beispiele
x^3 + y^3 = 3xy Integrieren → Fläche
Bekannte Einschränkungen
- Die Bogenlänge von y = ∛x (und ähnlichen Kurven) berechnen wir nur numerisch – sie führt auf ein elliptisches Integral, das keine elementare Stammfunktion hat.
- Bei Kurven in Parameterform und in Polarkoordinaten fehlen noch die eingefärbte Fläche und der 3D-Körper; Rotation nur um die x-Achse.
- Rotation um die y-Achse nur für einen Bereich auf einer Seite der Achse.
- Bei impliziten Kurven ohne Grenzen werden nur Kreis, Ellipse und eine Schleife durch den Ursprung unterstützt; Rotation nur um die x-Achse.