Unbestimmte Integrale

Die App integriert mit den Verfahren aus der Schule und sagt bei jedem Schritt, was sie tut. Das Ergebnis prüft sie durch Ableiten (die Probe ist der letzte Schritt) und zeichnet den Integranden und die Stammfunktion.

Wurzeln aus Potenzen der Variablen (∛(x⁴), √(x³)) werden als Potenzen mit rationalem Exponenten geschrieben; ein Betrag (|cos x|, √(1 − sin²x)) mit der Signumfunktion sgn.

Hat ein Integral keine elementare Stammfunktion (etwa e^(−x²)), sagt die App es und gibt sie mit einer speziellen Funktion an (erf, Si, …).

Eingabe

`int(x e^x, x)`	Ein Integral mit der Variablen.
`int(x^2 sin x)`	Ohne Variable, wenn es nur eine gibt.
`∫ x^2 dx`	Mit dem Integralzeichen, auch vom Foto.
`x e^x`	Eine Funktion mit dem Chip „Integrieren“.

Grundintegrale und Substitution

Das Integral einer Summe gliedweise, Konstanten vor das Integral, Grundintegrale aus der Tabelle (auch mit linearer innerer Funktion) und Substitution, wenn im Integranden eine Funktion zusammen mit der Ableitung ihres Inneren steht.

Beispiele

Gliedweise nach der Tabelle.

Eingabe: int(3x^2 - 2/x + e^x)

Die Substitution t = x².

Eingabe: int(2x cos(x^2))

Integral mit Konstanten a, b.

Eingabe: int(1/(a - bx)^3)

Partielle Integration

Ein Produkt aus einem Polynom und einer Exponential-, trigonometrischen oder Logarithmusfunktion integriert die App partiell, bei Bedarf mehrfach; Integrale wie eˣ sin x durch zyklische partielle Integration.

Beispiele

Zweimal hintereinander partiell integriert.

Eingabe: int(x^2 e^x)

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion dividiert die App bei Bedarf, zerlegt den Nenner und die Funktion in Partialbrüche, die sie zu Logarithmen und Arkustangens integriert.

Einen Nenner, der sich über den rationalen Zahlen nicht zerlegen lässt (x⁴ + 1, x⁵ + 1), zerlegt sie über den reellen Zahlen – jedes Paar konjugiert komplexer Nullstellen ergibt einen quadratischen Faktor ohne reelle Nullstellen.

Beispiele

Partialbruchzerlegung.

Eingabe: int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))

Zerlegung des Nenners x⁴ + 1 über den reellen Zahlen.

Eingabe: int(1/(x^4 + 1))

Trigonometrische Funktionen

Vorrangig Formeln (sin²x = (1 − cos 2x)/2, Produkte in Summen), bei einer ungeraden Potenz die Substitution t = sin x oder t = cos x, bei einer rationalen Funktion von Sinus und Kosinus eine Substitution nach der Parität, die Weierstraß-Substitution t = tan(x/2) erst zuletzt.

Beispiele

Eine ungerade Potenz des Sinus – die Substitution t = cos x.

Eingabe: int(sin(x)^3 cos(x)^2)

Hyperbelfunktionen

Grundintegrale (∫sinh x dx = cosh x + C, ∫1/cosh²x dx = tanh x + C, …), ∫tanh x dx über den Logarithmus der Ableitung, partielle Integration (x sinh x, arsinh x), Quadrate mit den Formeln sinh²x = (cosh 2x − 1)/2, tanh²x = 1 − 1/cosh²x; der Rest nach der Definition über Exponentialfunktionen.

Beispiele

Die Formel sinh²x = (cosh 2x − 1)/2.

Eingabe: int(sinh(x)^2)

Wurzeln

Integrale mit der Wurzel einer linearen gebrochenen Funktion durch Substitution, mit der Wurzel eines quadratischen Terms durch eine Eulersche Substitution und binomische Integrale nach den Bedingungen von Tschebyschow – gilt keine davon, sagt die App, dass das Integral nicht elementar ist.

Beispiele

Eine Eulersche Substitution.

Eingabe: int(sqrt(x^2 + 1))

Bekannte Einschränkungen

Bei manchen Integralen finden wir das Ergebnis ohne Lösungsweg – die App sagt es im Lösungsweg.
Eine Berechnung ohne Lösungsweg, die zu lange dauert, bricht die App ab und sagt es.