Gleichungen und Ungleichungen mit Parameter

Ein weiterer Buchstabe neben der Unbekannten ist ein Parameter – eine beliebige reelle Zahl, von der die Lösung abhängt. Die App formt die Gleichung in die Form A·x = B um (eine quadratische in A·x² + B·x + C = 0) und unterscheidet die Fälle nach den Werten des Parameters: wo der Koeffizient der Unbekannten null ist, wo die Diskriminante positiv, null oder negativ ist, wo die Bedingungen eine Lösung ausschließen und für welche Werte die Aufgabe keinen Sinn hat. Das Ergebnis fasst die Fälle zusammen.

Die Unbekannte wählt die App in der Reihenfolge x, y, z, u, v, w, t; die anderen Buchstaben sind Parameter. Eine andere Unbekannte wählst du mit dem Chip „Unbekannte“ oder schreibst sie nach einem Komma. Der Graph zeigt alle Lösungen als Kurve (bei einer Ungleichung als Bereich) in der Ebene Parameter – Unbekannte; mit dem Schieberegler wählst du den Wert des Parameters und liest die Lösungen auf der senkrechten Geraden ab.

Nach einem Komma können Sie auch nach den Lösungen fragen: „x^2 + px + 4 = 0, x > 0“ – für welche p alle Lösungen positiv sind (der Chip „Die Bedingung gilt für“ schaltet auf mindestens eine Lösung um), „…, x = 3“ – für welche p 3 eine Lösung ist. Bei einer linearen Gleichung wird die Lösung in die Bedingung eingesetzt, bei einer quadratischen helfen die Formeln von Vieta. Ein System zweier linearer Gleichungen mit Parameter wird mit Determinanten (cramersche Regel) gelöst, mit den Fällen genau einer, keiner und unendlich vieler Lösungen. Quadratische und Bruchungleichungen werden nach der Reihenfolge der Nullstellen diskutiert. Der Schieberegler im Graphen hält genau an den kritischen Werten des Parameters an, die auch unter dem Graphen stehen.

In einem unbestimmten Integral sind andere Buchstaben Konstanten – die App gibt an, welche nicht null sein dürfen (∫ dx/(a − bx)³ für b ≠ 0).

Eingabe

Beispiele

Lineare Gleichung – für a = 2 keine Lösung.

Eingabe: 2ax + a = 4x

Quadratische Gleichung – Fallunterscheidung nach der Diskriminante.

Eingabe: x^2 + 6x + p = 0

Ungleichung – das Vorzeichen des Koeffizienten entscheidet über die Richtung.

Eingabe: 2x + 2p - 5 < 2px + 7

Beide Lösungen größer als 1 – Diskriminante und Formeln von Vieta.

Eingabe: x^2 - 2px + p + 2 = 0, x > 1

Ein System mit Parameter – Determinanten; die Geraden schneiden sich, sind parallel oder gleich.

Eingabe: ax + y = 1
x + ay = 1

Eine Bruchungleichung – nach der Reihenfolge der Nullstelle p und des Punktes 1.

Eingabe: (x - p)/(x - 1) > 0

Bekannte Einschränkungen

• Die vollständige Fallunterscheidung nach Intervallen nur mit einem Parameter, mit mehreren die allgemeinen Fälle.
• Fragen nach den Lösungen nur bei linearen und quadratischen Gleichungen; Systeme mit Parameter nur aus zwei linearen Gleichungen; ein Parameter unter einer Wurzel oder in einem Logarithmus noch nicht.