Neurčitý integrál

Aplikace integruje metodami, které se učí ve škole, a u každého kroku řekne, co dělá. Výsledek ověří derivováním (zkouška je posledním krokem) a nakreslí integrovanou funkci a primitivní funkci.

Odmocniny z mocnin proměnné (∛(x⁴), √(x³)) přepíše na mocniny s racionálním exponentem; absolutní hodnotu (|cos x|, √(1 − sin²x)) zapíše pomocí znaménka sgn.

Nemá-li integrál elementární primitivní funkci (třeba e^(−x²)), aplikace to řekne a uvede ji pomocí vyšší funkce (erf, Si, …).

Jak zadat

int(x e^x, x)Integrál s proměnnou.
int(x^2 sin x)Bez proměnné, když je jen jedna.
∫ x^2 dxSe znakem integrálu, i z fotky.
x e^xFunkce s čipem „Integrovat“.

Základní integrály a substituce

Integrál součtu po členech, konstanta před integrál, tabulkové integrály (i s lineární vnitřní funkcí) a substituce, když je v integrálu funkce i derivace jejího vnitřku.

Ukázky

Po členech podle tabulky.
Zadání: int(3x^2 - 2/x + e^x)
int(3x^2 - 2/x + e^x)
int(3x^2 - 2/x + e^x)int(3x^2 - 2/x + e^x)
Substituce t = x².
Zadání: int(2x cos(x^2))
int(2x cos(x^2))
int(2x cos(x^2))int(2x cos(x^2))
Integrál s konstantami a, b.
Zadání: int(1/(a - bx)^3)
int(1/(a - bx)^3)

Per partes

Součin polynomu a exponenciály, goniometrické funkce nebo logaritmu aplikace integruje per partes, podle potřeby opakovaně; integrály typu eˣ sin x cyklickým per partes.

Ukázky

Per partes dvakrát po sobě.
Zadání: int(x^2 e^x)
int(x^2 e^x)
int(x^2 e^x)int(x^2 e^x)

Racionální funkce

Racionální funkci aplikace případně vydělí, jmenovatel rozloží a funkci rozloží na parciální zlomky, které integruje na logaritmy a arkustangenty.

Jmenovatel, který nad racionálními čísly rozložit nejde (x⁴ + 1, x⁵ + 1), rozloží nad reálnými čísly – každá dvojice komplexně sdružených kořenů dá kvadratický činitel bez reálných kořenů.

Ukázky

Rozklad na parciální zlomky.
Zadání: int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))
int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))
int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))int((x + 1)/(x^2 - 3x + 2))
Rozklad jmenovatele x⁴ + 1 nad reálnými čísly.
Zadání: int(1/(x^4 + 1))
int(1/(x^4 + 1))
int(1/(x^4 + 1))int(1/(x^4 + 1))int(1/(x^4 + 1))

Goniometrické funkce

Přednostně vzorce (sin²x = (1 − cos 2x)/2, součiny na součty), u liché mocniny substituce t = sin x nebo t = cos x, u racionální funkce sinu a kosinu substituce podle parity, univerzální substituce t = tg(x/2) až nakonec.

Ukázky

Lichá mocnina sinu – substituce t = cos x.
Zadání: int(sin(x)^3 cos(x)^2)
int(sin(x)^3 cos(x)^2)
int(sin(x)^3 cos(x)^2)int(sin(x)^3 cos(x)^2)

Hyperbolické funkce

Tabulkové integrály (∫sinh x dx = cosh x + C, ∫1/cosh²x dx = tgh x + C, …), ∫tgh x dx přes logaritmus derivace, per partes (x sinh x, argsinh x), druhé mocniny vzorci sinh²x = (cosh 2x − 1)/2, tgh²x = 1 − 1/cosh²x; ostatní z definice přes exponenciály.

Ukázky

Vzorec sinh²x = (cosh 2x − 1)/2.
Zadání: int(sinh(x)^2)
int(sinh(x)^2)

Odmocniny

Integrály s odmocninou z lineární lomené funkce substitucí, s odmocninou z kvadratického trojčlenu Eulerovou substitucí a binomické integrály podle Čebyševových podmínek – když žádná neplatí, aplikace řekne, že integrál není elementární.

Ukázky

Eulerova substituce.
Zadání: int(sqrt(x^2 + 1))
int(sqrt(x^2 + 1))
int(sqrt(x^2 + 1))int(sqrt(x^2 + 1))int(sqrt(x^2 + 1))

Známá omezení