Určitý integrál a jeho aplikace

Určitý integrál aplikace spočítá Newtonovou–Leibnizovou formulí a nakreslí plochu pod grafem – část nad osou x jinou barvou než pod ní. Umí i nevlastní integrály a aplikace: plochu, délku křivky, objem a plášť rotačního tělesa, i pro křivky zadané parametricky a v polárních souřadnicích.

Určitý integrál

Primitivní funkci aplikace najde stejně jako u neurčitého integrálu a dosadí meze. Při substituci meze rovnou přepočítá. Nemá-li integrál elementární primitivní funkci, spočítá ho numericky.

Jak zadat

`int(x^2, x, 0, 3)`	Integrál s proměnnou a mezemi.
`\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx`	Z fotky nebo v zápisu LaTeX.
`x^2`	Funkce s čipem „Integrovat“ – meze vyplníte do polí.

Ukázky

Substituce s přepočtem mezí.

Zadání: int(3x^2 cos(x^3), x, 0, 1)

Nevlastní integrál

Nekonečnou mez nebo neomezenou funkci aplikace řeší limitou primitivní funkce a řekne, zda integrál konverguje, nebo diverguje. Když limita primitivní funkce nejde spočítat, rozhodne srovnávacím kritériem.

Ukázky

Nekonečná horní mez.

Zadání: int(1/x^2, x, 1, oo)

Funkce neomezená u dolní meze.

Zadání: int(1/sqrt(x), x, 0, 1)

Plocha pod křivkou a mezi křivkami

Plochu mezi grafem a osou x nebo mezi dvěma křivkami aplikace počítá jako integrál absolutní hodnoty rozdílu – části nad i pod se sčítají kladně. Meze nemusíte zadávat: najde je jako průsečíky křivek.

Jak zadat

`plocha(x^2, x)`	Plocha mezi dvěma křivkami, meze z průsečíků.
`plocha(sin x, 0, pi)`	Plocha mezi křivkou a osou x na intervalu.
`x^2`	Funkce s čipem „Integrovat“ → „Plocha mezi křivkami“; druhou křivku a meze vyplníte do polí.

Ukázky

Plocha mezi parabolou a přímkou.

Zadání: x^2 Plocha mezi křivkami, druhá křivka x

Délka křivky

Délku grafu funkce na intervalu aplikace počítá vzorcem l = ∫√(1 + f′²) dx. Odmocninu se snaží zjednodušit (u půlkružnice vyjde arkussinus); kde integrál nemá elementární primitivní funkci, je výsledek numerický.

Jak zadat

delka(x^(3/2), 0, 4) Délka křivky na intervalu (i „délka“).

Ukázky

Délka půlkružnice.

Zadání: sqrt(1 - x^2) Délka křivky, meze −1 a 1

Objem rotačního tělesa

Objem tělesa vzniklého rotací kolem osy x aplikace počítá vzorcem V = π∫f² dx (mezi dvěma křivkami jako mezikruží), kolem osy y metodou válcových slupek. Těleso ukáže i ve 3D – otáčíte jím prstem.

Jak zadat

`objem(sqrt(x), 0, 4)`	Objem tělesa rotací kolem osy x.
`objem(x^2, 0, 2, y)`	Rotace kolem osy y.

Ukázky

Rotační paraboloid.

Zadání: sqrt(x) Objem tělesa, meze 0 a 4

Plášť rotačního tělesa

Obsah pláště aplikace počítá vzorcem S = 2π∫f√(1 + f′²) dx; součin pod odmocninou se často zjednoduší (u koule vyjde konstanta).

Jak zadat

povrch(sqrt(4 - x^2), -2, 2) Plášť tělesa rotací kolem osy x.

Ukázky

Povrch koule o poloměru 2.

Zadání: sqrt(4 - x^2) Povrch tělesa, meze −2 a 2

Křivky zadané parametricky a v polárních souřadnicích

Křivku x = φ(t), y = ψ(t) napište na dva řádky, křivku v polárních souřadnicích jako r = ρ(φ). Aplikace pak u čipu „Integrovat“ nabídne plochu, délku, objem a plášť; meze parametru jsou nepovinné (bez nich od 0 do 2π). Objem a plášť počítá rotací kolem osy x z části křivky nad osou.

Jak zadat

`x = t - sin(t) y = 1 - cos(t)`	Parametrická křivka na dva řádky.
`r = 1 + cos(phi)`	Křivka v polárních souřadnicích (i r^2 = … pro lemniskátu).
`delka(x=cos(t)^3, y=sin(t)^3, t, 0, 2pi)`	Psaný zápis s parametrem a mezemi.

Ukázky

Plocha pod obloukem cykloidy.

Zadání:

x = t - sin(t)
y = 1 - cos(t)

Plocha

Délka kardioidy.

Zadání: r = 1 + cos(phi) Délka křivky

Křivky zadané rovnicí

U rovnice s x a y (x³ + y³ = 3xy) nabídne čip „Integrovat“ plochu, délku, objem a plášť. Bez mezí počítá s celou uzavřenou křivkou: kružnici a elipsu zapíše parametricky přes cos a sin, smyčku procházející počátkem (Descartův list) pomocí přímek y = tx – plochu smyčky pak spočítá přesně z výsečí, délku, objem a plášť numericky. S mezemi v x použije horní větev y = f(x).

Jak zadat

`x^3 + y^3 = 3xy`	Uzavřená křivka – čip „Integrovat“ bez mezí.
`y^2 = x^3`	Neuzavřená křivka – čip „Integrovat“ s mezemi v x (horní větev y = x^(3/2)).

Ukázky

Plocha smyčky Descartova listu – přes přímky y = tx a výseče, S = 3/2.

Zadání: x^3 + y^3 = 3xy Integrovat → Plocha

Známá omezení

Délku křivky y = ∛x (a podobných) umíme jen numericky – vede na eliptický integrál, který nemá elementární primitivní funkci.
U křivek zadaných parametricky a v polárních souřadnicích zatím chybí vybarvená plocha a 3D těleso; rotace jen kolem osy x.
Rotace kolem osy y jen pro oblast na jedné straně osy.
U implicitních křivek bez mezí umíme jen kružnici, elipsu a smyčku procházející počátkem; rotace jen kolem osy x.