Équations différentielles

L'application résout les équations différentielles ordinaires du premier ordre : à variables séparables, linéaires, exactes, homogènes (y′ = f(y/x)), de Bernoulli et les équations y′ = f(ax + by + c). Elle reconnaît le type elle-même et montre la démarche comme à l'école – séparation des variables, variation de la constante ou facteur intégrant, substitution, potentiel d'une équation exacte. Les intégrales de la démarche ont leurs propres étapes.

Ordres supérieurs : équations linéaires à coefficients constants de tout ordre par l'équation caractéristique (racines multiples et complexes aussi), une solution particulière selon le second membre particulier (résonance et somme de seconds membres aussi) ou par variation des constantes, un problème de Cauchy en zéro aussi par la transformée de Laplace (puce « Méthode »). En outre l'équation d'Euler par x = eᵗ, y⁽ⁿ⁾ = f(x) par intégrations successives et l'abaissement de l'ordre – quand y manque (p = y′) ou x (y′ = p(y)).

L'équation y′ = y·(a(x)·ln y + b(x)) devient linéaire par la substitution z = ln y. Une équation linéaire du second ordre à coefficients variables est résolue quand on peut deviner une solution (xᵏ, eᶜˣ, …) : la seconde par réduction de l'ordre (d'Alembert), le second membre par variation des constantes. L'ordre est aussi réduit de plus d'un (p = y⁽ᵐ⁾ avec une équation du second ordre en p). Avec des paramètres, les cas sont distingués : un oscillateur amorti selon le signe de δ² − ω² (régime apériodique, critique, pseudo-périodique), une résonance (y″ + ω²y = cos 2t pour ω = 2) et le signe d'une constante dont dépend l'intégrale (y″ = 2yy′). La transformée de Laplace résout aussi un problème de Cauchy en un point autre que 0 (décalage τ = t − t₀) et avec des paramètres.

Le résultat est la solution générale avec une constante C, aux ordres supérieurs avec des constantes C₁, C₂, … (explicite, ou implicite quand elle ne peut l'être) ; avec des conditions, la solution qui les vérifie – initiales et aux limites, y compris les cas « aucune solution » et « une infinité de solutions ». Les solutions constantes perdues en divisant sont retrouvées. Chaque solution est vérifiée en la substituant dans l'équation. Au premier ordre le graphique montre le champ de directions et des solutions pour différents C, aux ordres supérieurs des solutions pour différentes constantes ; pour une équation autonome du second ordre (sans x), un sélecteur montre aussi le plan de phase (y, y′).

Comment le saisir

y' = x*yLa dérivée avec un prime.
dy/dx = x y^2Notation de Leibniz – elle indique aussi la variable (dm/dt, dT/dt).
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + xNotation issue d'une photo.
(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0La forme M dx + N dy = 0 (équation exacte).
y' = y^2 + 1, y(0) = 1Une condition initiale après une virgule ou à la ligne suivante.
dm/dt = m + 2, m(0) = 0La fonction et la variable peuvent être n'importe quelles lettres.
y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)Une équation d'ordre supérieur – les dérivées avec plusieurs primes.
y^{(4)} + 2y'' + y = 0Les dérivées supérieures comme y^{(4)} (aussi depuis une photo).
y'' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2Conditions initiales y(0), y′(0) – ou aux limites en des points différents.
\ddot{x} + \omega^2 x = 0Les points de Newton (dérivées par rapport au temps t) et des paramètres grecs.

Exemples

Variables séparables – la solution générale et le champ de directions.
Énoncé: y' = x*y
y' = x*y
y' = x*yy' = x*y
La condition initiale détermine la constante C.
Énoncé: y' = y^2 + 1, y(0) = 1
y' = y^2 + 1, y(0) = 1
y' = y^2 + 1, y(0) = 1y' = y^2 + 1, y(0) = 1y' = y^2 + 1, y(0) = 1
Une équation linéaire par variation de la constante.
Énoncé: y' + 2y = e^x Variation de la constante
y' + 2y = e^x
y' + 2y = e^xy' + 2y = e^x
La même équation par un facteur intégrant.
Énoncé: y' + 2y = e^x Facteur intégrant
y' + 2y = e^x
y' + 2y = e^xy' + 2y = e^x
Une équation homogène – la substitution u = y/x.
Énoncé: y' = (x - y)/(x + y)
y' = (x - y)/(x + y)
y' = (x - y)/(x + y)y' = (x - y)/(x + y)y' = (x - y)/(x + y)
Une équation de Bernoulli – la substitution z = y^(1−n) et la solution constante y = 0.
Énoncé: xy' - y = -xy^2
xy' - y = -xy^2
xy' - y = -xy^2xy' - y = -xy^2xy' - y = -xy^2
Une équation exacte – le potentiel F(x, y) = C.
Énoncé: (2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0
(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0
(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0
La substitution z = x − y ; Symja perdrait ici un facteur 2, l'application vérifie le résultat.
Énoncé: y' = cos(x - y), y(0) = pi/2
y' = cos(x - y), y(0) = pi/2
y' = cos(x - y), y(0) = pi/2y' = cos(x - y), y(0) = pi/2
L'équation caractéristique aux racines complexes −2 ± 3i.
Énoncé: y'' + 4y' + 13y = 0
y'' + 4y' + 13y = 0
y'' + 4y' + 13y = 0y'' + 4y' + 13y = 0
Second membre particulier avec résonance – 2 est racine de l'équation caractéristique.
Énoncé: y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x) Second membre particulier
y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)
y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)
Le second membre tan x n'est pas particulier – variation des constantes et wronskien.
Énoncé: y'' + y = tan x
y'' + y = tan x
y'' + y = tan xy'' + y = tan xy'' + y = tan xy'' + y = tan x
Un problème de Cauchy – un système pour les constantes C₁, C₂.
Énoncé: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
Le même problème par la transformée de Laplace.
Énoncé: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0 Transformée de Laplace
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
Un problème aux limites avec une infinité de solutions.
Énoncé: y'' + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0
y'' + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0
Équation d'Euler – la substitution x = eᵗ.
Énoncé: x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2
x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2
x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2
L'abaissement y′ = p(y), les constantes tirées des conditions initiales pas à pas.
Énoncé: y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1
y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1
y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1
Un oscillateur amorti : trois cas selon δ et ω.
Énoncé: y'' + 2δy' + ω^2y = 0
y'' + 2δy' + ω^2y = 0
Résonance : pour ω = 2 la solution a une autre forme.
Énoncé: y'' + ω^2y = cos(2t)
y'' + ω^2y = cos(2t)
y'' + ω^2y = cos(2t)y'' + ω^2y = cos(2t)
Une solution devinée y₁ = x et la réduction de l'ordre (d'Alembert).
Énoncé: (1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0
(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0
(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0

Limitations connues