Séries de Fourier

L’application construit la série de Fourier d’une fonction sur un intervalle pris comme une période (sans indication, sur [−π ; π]), ou la série en sinus ou en cosinus d’une fonction sur [0 ; L]. La fonction peut aussi être définie par morceaux.

Elle calcule les coefficients par des intégrales avec toute la démarche (intégration par parties avec le paramètre n), remplace sin nπ = 0 et cos nπ = (−1)ⁿ et exploite la symétrie des fonctions paires et impaires. Aux points de discontinuité, elle détermine la somme de la série par le théorème de Dirichlet et, en remplaçant un point et avec l’égalité de Parseval, elle en déduit des sommes de séries numériques (comme Σ 1/n² = π²/6). Le graphique montre le prolongement périodique de la fonction et les sommes partielles avec un curseur.

Comment le saisir

`fourier(x^2, -pi, pi)`	La fonction et l’intervalle.
`fouriersin(x, 0, pi)`	La série en sinus (fouriercos – en cosinus).
`-1, -pi < x < 0 1, 0 < x < pi`	Une fonction par morceaux, ligne par ligne, avec la puce « Série de Fourier ».
`x^2`	Une fonction avec la puce « Série de Fourier » – le type de série et l’intervalle s’y choisissent.

Exemples

Une fonction paire – uniquement des cosinus ; les sommes Σ 1/n² et Σ 1/n⁴.

Énoncé: fourier(x^2)

Une fonction par morceaux – sauts et phénomène de Gibbs.

Énoncé:

-1, -pi < x < 0
1, 0 < x < pi

Série de Fourier

Une série en sinus et la somme 1 − 1/3³ + 1/5³ − … = π³/32.

Énoncé: fouriersin(x*(pi - x), 0, pi)

Limitations connues

Une fonction non bornée (comme ln x sur [0 ; 2π]) ne peut pas être développée – la série divergerait au point où la fonction tend vers l’infini.
Quand les coefficients conduisent à une intégrale sans primitive élémentaire (ln x sur [1 ; 3]), ils sont exprimés avec le sinus et le cosinus intégraux.