Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas
Una ecuación exponencial la aplicación la resuelve pasando a la misma base, tomando logaritmos o con un cambio de variable; una logarítmica, juntando los logaritmos según sus propiedades y eliminando el logaritmo, siempre con las condiciones. Las inecuaciones las resuelve mediante la monotonía – con una base menor que 1 el sentido cambia.
Ecuaciones con bases distintas: aˣ + bˣ = cˣ con bases de dos primos (25ˣ + 10ˣ = 4ˣ) se dividen por una potencia y con t = (5/2)ˣ pasan a cuadráticas; los logaritmos de bases distintas se pasan a una sola (log₅ x = log₂ x / log₂ 5).
Los logaritmos cuyas bases son potencias de un mismo número (log₂ x + log₄(x + 2) = 2) se pasan a una sola base (log₄ a = log₂ a / 2), se multiplica la ecuación y se agrupan los logaritmos. Un logaritmo con la incógnita en la base (logₓ 8 = 3) se elimina por la definición (x³ = 8) con las condiciones x > 0, x ≠ 1. Una ecuación con la incógnita en la base y en el exponente (x^(log x) = 100) se resuelve tomando logaritmos y con la sustitución t = log x. Las inecuaciones con la sustitución t = log(x + 1) y los sistemas de inecuaciones logarítmicas y exponenciales se resuelven como inecuaciones sueltas, mediante la monotonía.
Las ecuaciones e inecuaciones con funciones hiperbólicas se reescriben según la definición (sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, …) como exponenciales y se resuelven con la sustitución t = eˣ; arsinh x = c, con la función inversa (x = sinh c).
Ejemplos
4^x - 3*2^x - 4 = 0
log_2(x+1) + log_2(x-1) = 3
25^d + 10^d = 4^d
(1/2)^x > 8
tanh x = 1/2
log_x (2x+3) = 2
x^(log x) = 100
Limitaciones conocidas
- Los logaritmos de bases distintas que no son potencias de un mismo número (log₂ x + log₃(x + 1) = 2) se resuelven solo numéricamente.
- Las ecuaciones hiperbólicas que llevan a una ecuación de 4.º grado en eˣ (cosh²x − 3 sinh x = 3) solo se resuelven numéricamente; las inecuaciones con funciones hiperbólicas inversas todavía no se admiten.