Anwendungen von Differentialgleichungen

Die Schaltfläche „Anwendungen von Differentialgleichungen“ auf dem Startbildschirm öffnet ein Formular mit 23 Modellen: Radiokarbonmethode, Zerfall und Halbwertszeit, exponentielles Wachstum, Zerfallsreihe, Newtonsche Abkühlung (auch Todeszeitpunkt aus zwei Messungen), chemische Kinetik 0.–2. Ordnung, Medikament im Blut, Blutalkohol, Sparen und Kredit, RC-, RL- und RLC-Kreis, Federpendel, Fall mit Luftwiderstand, Ausfluss aus einem Gefäß, Mischen, logistisches und Gompertz-Wachstum, Population mit Ernte, SIR-Epidemie, Räuber und Beute, Konkurrenz zweier Arten und Chemostat.

Sie wählen das Modell, die Variante und die gesuchte Größe; Konstanten sind vorausgefüllt und änderbar. Für jede Größe und das Ergebnis wählen Sie die Einheit – die App rechnet um (die Umrechnung ist ein Schritt). Das „?“ beim Modell erklärt, woher seine Gleichung kommt.

Die Schritte stellen das Modell auf, lösen die Gleichung (Trennung der Variablen, integrierender Faktor, charakteristische Gleichung), setzen die Bedingungen ein, drücken die gesuchte Größe aus und setzen die Zahlen ein. Systeme werden numerisch mit Runge-Kutta gelöst, Gleichgewichte und Stabilität exakt. Der Graph zeigt die Größen im Zeitverlauf, bei Systemen auch die Phasenebene.

Beispiele

Alter eines Fundes mit 35 % verbliebenem ¹⁴C.

Eingabe: model(radiocarbon; find=t[yr]; T12=5730[yr]; p=35[pct]; input=ratio)

Todeszeitpunkt: 30 °C beim Fund, eine Stunde später 28 °C, Raum 20 °C.

Eingabe: model(cooling; find=t[h]; T0=30[degC]; Ta=20[degC]; t1=1[h]; T1=28[degC]; Tt=37[degC]; k=measured)

500 mg alle 8 Stunden – der stationäre Spiegel.

Eingabe: model(drug; find=steady[mg_l]; D=500[mg]; V=40[l]; T12=6[h]; tau=8[h]; mode=repeated)

Monatliche Rate eines Kredits von 1 000 000 CZK für 20 Jahre bei 5 %.

Eingabe: model(interest; find=a[CZK_mo]; B0=1000000[CZK]; r=5[pct_yr]; t=20[yr]; B=0[CZK]; kind=loan)

Wie lange ein Kondensator bis zur halben Quellenspannung braucht.

Eingabe: model(rc; find=t[ms]; R=10[kohm]; C=100[uF]; U=12[V]; u=6[V]; mode=charge)

Gedämpftes Federpendel – Auslenkung nach 1 s.

Eingabe: model(spring; find=x[cm]; m=0.5[kg]; k=20[N_m]; b=1[kg_s]; x0=5[cm]; v0=0[m_s]; t=1[s])

Epidemie mit R₀ = 2,5 – Höhepunkt und Gesamtzahl der Infizierten.

Eingabe: model(sir; find=overview[d]; N=10000[pcs]; I0=10[pcs]; R0=2.5; D=7[d]; rates=r0)

Räuber und Beute – Gleichgewicht, Stabilität und Periode.

Eingabe: model(predator; find=overview[mo]; a=0.5[per_mo]; b=0.01[per_pcs_mo]; c=0.4[per_mo]; d=0.005[per_pcs_mo]; x0=100[pcs]; y0=20[pcs])