Exponential- und Logarithmusgleichungen und -ungleichungen

Eine Exponentialgleichung löst die App durch Umformen auf dieselbe Basis, durch Logarithmieren oder durch Substitution; eine Logarithmusgleichung durch Zusammenfassen der Logarithmen nach den Rechenregeln und Entlogarithmieren, immer mit der Definitionsmenge. Ungleichungen löst sie über die Monotonie – bei einer Basis kleiner als 1 dreht sich das Zeichen um.

Gleichungen mit verschiedenen Basen: aˣ + bˣ = cˣ mit Basen aus zwei Primzahlen (25ˣ + 10ˣ = 4ˣ) werden durch eine Potenz geteilt und mit t = (5/2)ˣ quadratisch; Logarithmen verschiedener Basen werden auf eine umgerechnet (log₅ x = log₂ x / log₂ 5).

Logarithmen, deren Basen Potenzen einer Zahl sind (log₂ x + log₄(x + 2) = 2), werden auf eine Basis umgerechnet (log₄ a = log₂ a / 2), die Gleichung wird multipliziert und die Logarithmen zusammengefasst. Ein Logarithmus mit der Unbekannten in der Basis (logₓ 8 = 3) wird nach der Definition aufgelöst (x³ = 8), mit den Bedingungen x > 0, x ≠ 1. Eine Gleichung mit der Unbekannten in Basis und Exponent (x^(log x) = 100) wird logarithmiert und mit der Substitution t = log x gelöst. Ungleichungen mit der Substitution t = log(x + 1) und Systeme logarithmischer und exponentieller Ungleichungen werden wie einzelne Ungleichungen gelöst – über die Monotonie.

Gleichungen und Ungleichungen mit Hyperbelfunktionen werden nach der Definition (sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, …) zu Exponentialgleichungen und mit der Substitution t = eˣ gelöst; arsinh x = c mit der Umkehrfunktion (x = sinh c).

Beispiele

Die Substitution t = 2ˣ.

Eingabe: 4^x - 3*2^x - 4 = 0

Logarithmen zusammenfassen, Definitionsmenge.

Eingabe: log_2(x+1) + log_2(x-1) = 3

Verschiedene Basen – durch 4ᵈ teilen, t = (5/2)ᵈ substituieren.

Eingabe: 25^d + 10^d = 4^d

Basis kleiner als 1 – das Ungleichheitszeichen dreht sich um.

Eingabe: (1/2)^x > 8

Tangens hyperbolicus nach der Definition – Substitution t = e²ˣ.

Eingabe: tanh x = 1/2

Unbekannte in der Basis – nach der Definition; die Lösung −1 erfüllt die Bedingungen nicht.

Eingabe: log_x (2x+3) = 2

Unbekannte in Basis und Exponent – logarithmieren, Substitution t = log x.

Eingabe: x^(log x) = 100

Bekannte Einschränkungen

Logarithmen verschiedener Basen, die keine Potenzen einer Zahl sind (log₂ x + log₃(x + 1) = 2), werden nur numerisch gelöst.
Hyperbolische Gleichungen, die auf eine Gleichung 4. Grades in eˣ führen (cosh²x − 3 sinh x = 3), werden nur numerisch gelöst; Ungleichungen mit Areafunktionen werden noch nicht unterstützt.