Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice
Exponenciální rovnici aplikace řeší převedením na stejný základ, logaritmováním nebo substitucí; logaritmickou sloučením logaritmů podle pravidel a odlogaritmováním, vždy s podmínkami. Nerovnice řeší přes monotonii – u základu menšího než 1 se znaménko obrátí.
Rovnice s různými základy: aˣ + bˣ = cˣ se základy ze dvou prvočísel (25ˣ + 10ˣ = 4ˣ) vydělí mocninou a substitucí t = (5/2)ˣ převede na kvadratickou; logaritmy různých základů převede na jeden (log₅ x = log₂ x / log₂ 5).
Logaritmy, jejichž základy jsou mocninami jednoho čísla (log₂ x + log₄(x + 2) = 2), převede na jeden základ (log₄ a = log₂ a / 2), rovnici vynásobí a logaritmy sloučí. Logaritmus s neznámou v základu (logₓ 8 = 3) odlogaritmuje podle definice (x³ = 8) s podmínkami x > 0, x ≠ 1. Rovnici s neznámou v základu i v exponentu (x^(log x) = 100) zlogaritmuje a vyřeší substitucí t = log x. Nerovnice se substitucí t = log(x + 1) a soustavy logaritmických a exponenciálních nerovnic řeší stejně jako jednotlivé nerovnice – přes monotonii.
Rovnice a nerovnice s hyperbolickými funkcemi převede podle definice (sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, …) na exponenciální a vyřeší substitucí t = eˣ; argsinh x = c vyřeší inverzní funkcí (x = sinh c).
Ukázky
4^x - 3*2^x - 4 = 0
log_2(x+1) + log_2(x-1) = 3
25^d + 10^d = 4^d
(1/2)^x > 8
tgh x = 1/2
log_x (2x+3) = 2
x^(log x) = 100
Známá omezení
- Logaritmy různých základů, které nejsou mocninami jednoho čísla (log₂ x + log₃(x + 1) = 2), řeší jen numericky.
- Hyperbolické rovnice, které vedou na rovnici 4. stupně v eˣ (cosh²x − 3 sinh x = 3), řeší jen numericky; nerovnice s hyperbolometrickými funkcemi zatím neumíme.