Ecuaciones e inecuaciones con parámetro
Una letra de la ecuación además de la incógnita es un parámetro: cualquier número real del que depende la solución. La aplicación pasa la ecuación a la forma A·x = B (una cuadrática a A·x² + B·x + C = 0) y discute la solución según los valores del parámetro: dónde el coeficiente de la incógnita es cero, dónde el discriminante es positivo, cero o negativo, dónde las condiciones excluyen una raíz y para qué valores el problema no tiene sentido. El resultado resume los casos.
La aplicación toma la incógnita en el orden x, y, z, u, v, w, t; las demás letras son parámetros. Puedes elegir otra incógnita con la etiqueta «Incógnita» o escribirla tras una coma. La gráfica muestra todas las soluciones como una curva (una región en una inecuación) en el plano parámetro–incógnita; elige el valor del parámetro con el deslizador y lee las soluciones en la recta vertical.
Tras una coma también puedes preguntar por las raíces: «x^2 + px + 4 = 0, x > 0»: para qué p todas las raíces son positivas (la etiqueta «La condición se cumple para» cambia a al menos una raíz); «…, x = 3»: para qué p 3 es raíz. En una ecuación lineal la raíz se sustituye en la condición; en una cuadrática se usan las fórmulas de Vieta. Un sistema de dos ecuaciones lineales con parámetro se resuelve con determinantes (regla de Cramer), con los casos de una, ninguna e infinitas soluciones. Una inecuación cuadrática o racional se discute según el orden de sus ceros. El deslizador de la gráfica se detiene exactamente en los valores críticos del parámetro, que también aparecen bajo la gráfica.
En una integral indefinida las demás letras son constantes; la aplicación indica cuáles no pueden ser cero (∫ dx/(a − bx)³ para b ≠ 0).
Cómo introducirlo
2ax + a = 4x | Cada letra adicional es un parámetro; la incógnita es x (o y, z, …). |
(q+3)x = 2x + q, incógnita q | Puedes indicar la incógnita o el parámetro tras una coma («a es parámetro», «incógnita q»). |
x^2 + px + 4 = 0, x > 0 | Una pregunta sobre las raíces tras una coma: para qué p todas las raíces (o al menos una) tienen la propiedad. |
Ejemplos
2ax + a = 4x
x^2 + 6x + p = 0
2x + 2p - 5 < 2px + 7
x^2 - 2px + p + 2 = 0, x > 1
ax + y = 1
x + ay = 1
(x - p)/(x - 1) > 0
Limitaciones conocidas
- La discusión completa por intervalos solo con un parámetro, con varios los casos generales.
- Preguntas sobre las raíces solo en ecuaciones lineales y cuadráticas; sistemas con parámetro solo de dos ecuaciones lineales; un parámetro dentro de una raíz o un logaritmo, aún no.