Ecuaciones diferenciales

La aplicación resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: de variables separables, lineales, exactas, homogéneas (y′ = f(y/x)), de Bernoulli y ecuaciones y′ = f(ax + by + c). Reconoce el tipo por sí misma y muestra el procedimiento como en la escuela – separación de variables, variación de la constante o factor integrante, sustitución, función potencial de una ecuación exacta. Las integrales del procedimiento tienen sus propios pasos.

Órdenes superiores: ecuaciones lineales con coeficientes constantes de cualquier orden mediante la ecuación característica (también raíces múltiples y complejas), una solución particular según el lado derecho especial (también resonancia y suma de lados derechos) o por variación de constantes, un problema de valor inicial en cero también con la transformada de Laplace (chip «Método»). Además la ecuación de Euler con x = eᵗ, y⁽ⁿ⁾ = f(x) integrando sucesivamente y la reducción del orden – cuando falta y (p = y′) o x (y′ = p(y)).

La ecuación y′ = y·(a(x)·ln y + b(x)) se vuelve lineal con la sustitución z = ln y. Una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes variables se resuelve si se puede adivinar una solución (xᵏ, eᶜˣ, …): la segunda, reduciendo el orden (d'Alembert), y el lado derecho por variación de constantes. El orden se reduce también en más de uno (p = y⁽ᵐ⁾ con una ecuación de segundo orden para p). Con parámetros se distinguen casos: un oscilador amortiguado según el signo de δ² − ω² (sobreamortiguado, crítico, subamortiguado), una resonancia (y″ + ω²y = cos 2t para ω = 2) y el signo de una constante del que depende la integral (y″ = 2yy′). La transformada de Laplace resuelve también un problema de valor inicial en un punto distinto de 0 (desplazando τ = t − t₀) y con parámetros.

El resultado es la solución general con una constante C, en órdenes superiores con constantes C₁, C₂, … (explícita, o implícita donde no puede ser explícita); con condiciones, la solución que las cumple – iniciales y de contorno, incluidos los casos «sin solución» e «infinitas soluciones». También encuentra las soluciones constantes perdidas al dividir. Cada solución se comprueba sustituyéndola en la ecuación. En primer orden la gráfica muestra el campo de direcciones y soluciones para distintos C, en órdenes superiores soluciones para distintas constantes; en una ecuación autónoma de segundo orden (sin x) un selector muestra también el plano de fases (y, y′).

Cómo introducirlo

y' = x*yLa derivada con prima.
dy/dx = x y^2Notación de Leibniz – indica también la variable (dm/dt, dT/dt).
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + xNotación de una foto.
(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0La forma M dx + N dy = 0 (ecuación exacta).
y' = y^2 + 1, y(0) = 1Una condición inicial tras una coma o en la línea siguiente.
dm/dt = m + 2, m(0) = 0La función y la variable pueden ser cualquier letra.
y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)Una ecuación de orden superior – las derivadas con más primas.
y^{(4)} + 2y'' + y = 0Derivadas superiores como y^{(4)} (también desde una foto).
y'' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2Condiciones iniciales y(0), y′(0) – o de contorno en distintos puntos.
\ddot{x} + \omega^2 x = 0Los puntos de Newton (derivadas respecto al tiempo t) y parámetros griegos.

Ejemplos

Variables separables – la solución general y el campo de direcciones.
Enunciado: y' = x*y
y' = x*y
y' = x*yy' = x*y
La condición inicial determina la constante C.
Enunciado: y' = y^2 + 1, y(0) = 1
y' = y^2 + 1, y(0) = 1
y' = y^2 + 1, y(0) = 1y' = y^2 + 1, y(0) = 1y' = y^2 + 1, y(0) = 1
Una ecuación lineal por variación de la constante.
Enunciado: y' + 2y = e^x Variación de la constante
y' + 2y = e^x
y' + 2y = e^xy' + 2y = e^x
La misma ecuación con factor integrante.
Enunciado: y' + 2y = e^x Factor integrante
y' + 2y = e^x
y' + 2y = e^xy' + 2y = e^x
Una ecuación homogénea – la sustitución u = y/x.
Enunciado: y' = (x - y)/(x + y)
y' = (x - y)/(x + y)
y' = (x - y)/(x + y)y' = (x - y)/(x + y)y' = (x - y)/(x + y)
Una ecuación de Bernoulli – la sustitución z = y^(1−n) y la solución constante y = 0.
Enunciado: xy' - y = -xy^2
xy' - y = -xy^2
xy' - y = -xy^2xy' - y = -xy^2xy' - y = -xy^2
Una ecuación exacta – la función potencial F(x, y) = C.
Enunciado: (2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0
(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0
(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0
La sustitución z = x − y; Symja perdería aquí un factor 2, la app comprueba el resultado.
Enunciado: y' = cos(x - y), y(0) = pi/2
y' = cos(x - y), y(0) = pi/2
y' = cos(x - y), y(0) = pi/2y' = cos(x - y), y(0) = pi/2
La ecuación característica con raíces complejas −2 ± 3i.
Enunciado: y'' + 4y' + 13y = 0
y'' + 4y' + 13y = 0
y'' + 4y' + 13y = 0y'' + 4y' + 13y = 0
Lado derecho especial con resonancia – 2 es raíz de la ecuación característica.
Enunciado: y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x) Lado derecho especial
y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)
y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)
El lado derecho tan x no es especial – variación de constantes y el wronskiano.
Enunciado: y'' + y = tan x
y'' + y = tan x
y'' + y = tan xy'' + y = tan xy'' + y = tan xy'' + y = tan x
Un problema de valor inicial – un sistema para las constantes C₁, C₂.
Enunciado: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
El mismo problema con la transformada de Laplace.
Enunciado: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0 Transformada de Laplace
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
Un problema de contorno con infinitas soluciones.
Enunciado: y'' + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0
y'' + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0
Ecuación de Euler – la sustitución x = eᵗ.
Enunciado: x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2
x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2
x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2
La reducción y′ = p(y), las constantes de las condiciones iniciales paso a paso.
Enunciado: y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1
y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1
y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1
Un oscilador amortiguado: tres casos según δ y ω.
Enunciado: y'' + 2δy' + ω^2y = 0
y'' + 2δy' + ω^2y = 0
Resonancia: para ω = 2 la solución tiene otra forma.
Enunciado: y'' + ω^2y = cos(2t)
y'' + ω^2y = cos(2t)
y'' + ω^2y = cos(2t)y'' + ω^2y = cos(2t)
Una solución adivinada y₁ = x y reducción del orden (d'Alembert).
Enunciado: (1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0
(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0
(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0

Limitaciones conocidas