Goniometrické rovnice a nerovnice

Aplikace převede rovnici na základní rovnice typu sin x = a a ty vyřeší na jednotkové kružnici: najde úhly v jedné otočce a přičte k nim násobky periody (x = π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ). Kružnice je nakreslená přímo v postupu.

Přednostně používá známé vzorce – dvojnásobný a poloviční argument, sin²x + cos²x = 1, součet na součin –, dále vytýkání, substituci t = sin x, dělení homogenní rovnice cosⁿx a pomocný úhel u a·sin x + b·cos x = c. Výsledek ještě ověří numericky na celé periodě.

Neznámá latinským písmenem (x, t) je v radiánech, řeckým písmenem (alpha, β, …) ve stupních – stejně jako zadání se znakem ° (sin(x + 30°)). Kořeny v daném intervalu dostanete, když interval připíšete za čárku nebo na další řádek.

Nerovnici aplikace řeší obloukem na jednotkové kružnici, složitější přes nulové body na jedné periodě; výsledek jsou intervaly s periodou.

Ukázky

Dvě větve řešení, úhly na jednotkové kružnici.

Zadání: sin x = 1/2

Substituce t = sin x a kvadratická rovnice.

Zadání: 2sin^2 x - sin x - 1 = 0

Vzorec pro sin 2x a rozklad na součin.

Zadání: sin 2x = cos x

Pomocný úhel: sin x + cos x = √2·sin(x + π/4).

Zadání: sin x + cos x = 1

Řecké písmeno – výsledek ve stupních.

Zadání: sin alpha + cos alpha = sqrt(2)

Jen kořeny v zadaném intervalu.

Zadání: sin x = 1/2, x ∈ <0; 4pi)

Oblouk na jednotkové kružnici, interval kolem nuly.

Zadání: cos x > 1/2

Nulové body na periodě a znaménko mezi nimi.

Zadání: 2sin^2 x - sin x - 1 > 0

Známá omezení

• Rovnice, kde je neznámá i mimo goniometrickou funkci (x = cos x), řešíme jen numericky a bez periody.
• Dvojitou goniometrickou nerovnici (−1/2 < sin x < 1/2) a goniometrické funkce v absolutní hodnotě zatím neumíme.