Rovnice a nerovnice s parametrem
Je-li v rovnici kromě neznámé ještě další písmeno, je to parametr – libovolné reálné číslo, na kterém závisí řešení. Aplikace rovnici upraví na tvar A·x = B (u kvadratické A·x² + B·x + C = 0) a řešení rozebere podle hodnot parametru (diskuse): kde je koeficient u neznámé nulový, kde je diskriminant kladný, nulový nebo záporný, kde podmínky vyloučí kořen a pro které hodnoty nemá úloha smysl. Výsledek shrne po případech.
Neznámou aplikace vybere podle pořadí x, y, z, u, v, w, t, ostatní písmena jsou parametry; jinou neznámou vyberete čipem „Neznámá“ nebo ji napíšete za čárku. Graf ukáže všechna řešení jako křivku (u nerovnice oblast) v rovině parametr – neznámá; posuvníkem zvolíte hodnotu parametru a na svislé přímce přečtete řešení.
Za čárku můžete napsat i otázku na kořeny: „x^2 + px + 4 = 0, x > 0“ – pro která p jsou všechny kořeny kladné (čipem „Podmínka platí pro“ přepnete na alespoň jeden kořen), „…, x = 3“ – pro která p je 3 kořenem. Lineární rovnici aplikace řeší dosazením kořene do podmínky, kvadratickou Vietovými vzorci. Soustavu dvou lineárních rovnic s parametrem řeší determinanty (Cramerovým pravidlem) a rozebere, kdy má jedno, žádné a nekonečně mnoho řešení. Kvadratickou a lomenou nerovnici rozebere podle pořadí nulových bodů. Posuvník v grafu se zastaví přesně na kritických hodnotách parametru, ty jsou i pod grafem.
Písmena v neurčitém integrálu bere aplikace jako konstanty a připíše, které nesmí být nulové (∫ dx/(a − bx)³ pro b ≠ 0).
Jak zadat
2ax + a = 4x | Parametr je každé další písmeno; neznámá je x (nebo y, z, …). |
(q+3)x = 2x + q, neznámá q | Neznámou nebo parametr můžete napsat za čárku („a je parametr“, „neznámá q“). |
x^2 + px + 4 = 0, x > 0 | Otázka na kořeny za čárkou: pro která p mají všechny kořeny (nebo alespoň jeden) danou vlastnost. |
Ukázky
2ax + a = 4x
x^2 + 6x + p = 0
2x + 2p - 5 < 2px + 7
x^2 - 2px + p + 2 = 0, x > 1
ax + y = 1
x + ay = 1
(x - p)/(x - 1) > 0
Známá omezení
- Úplná diskuse po intervalech jen s jedním parametrem, s více parametry obecné případy.
- Otázky na kořeny jen u lineárních a kvadratických rovnic; soustavy s parametrem jen dvě lineární rovnice; parametr v odmocnině nebo logaritmu zatím ne.