Diferenciální rovnice

Aplikace řeší obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu: separovatelné, lineární, exaktní, homogenní (y′ = f(y/x)), Bernoulliovy a rovnice y′ = f(ax + by + c). Typ pozná sama a postup ukáže tak, jak se počítá ve škole – separace proměnných, variace konstanty nebo integrační faktor, substituce, kmenová funkce exaktní rovnice. Integrály v postupu mají vlastní kroky.

Rovnice vyšších řádů: lineární s konstantními koeficienty libovolného řádu přes charakteristickou rovnici (i násobné a komplexní kořeny), partikulární řešení podle speciální pravé strany (i rezonance a součet pravých stran) nebo variací konstant, počáteční úlohu v nule i Laplaceovou transformací (volba čipem „Metoda“). Dále Eulerovu rovnici substitucí x = eᵗ, rovnici y⁽ⁿ⁾ = f(x) postupnou integrací a snížení řádu – když v rovnici chybí y (p = y′) nebo x (y′ = p(y)).

Rovnici y′ = y·(a(x)·ln y + b(x)) převede substitucí z = ln y na lineární. Lineární rovnici 2. řádu s nekonstantními koeficienty vyřeší, když jedno řešení uhodne (xᵏ, eᶜˣ, …): druhé najde snížením řádu (d'Alembert), pravou stranu variací konstant. Řád sníží i o víc než jedna (p = y⁽ᵐ⁾ s rovnicí 2. řádu pro p). U rovnice s parametry rozliší případy – tlumený oscilátor podle znaménka δ² − ω² (nadkritické, kritické a podkritické tlumení), rezonanci (y″ + ω²y = cos 2t pro ω = 2) a znaménko konstanty, na kterém závisí integrál (y″ = 2yy′). Laplaceovou transformací řeší i počáteční úlohu v jiném bodě než 0 (posunutím τ = t − t₀) a s parametry.

Výsledkem je obecné řešení s konstantou C, u vyšších řádů s konstantami C₁, C₂, … (explicitně, a kde to nejde, implicitně), s podmínkami řešení, které je splňuje – počáteční i okrajové, včetně případů „žádné řešení“ a „nekonečně mnoho řešení“. Konstantní řešení ztracená dělením aplikace dohledá. Každé řešení ověří dosazením do rovnice. Graf u 1. řádu ukáže směrové pole a řešení pro různá C, u vyšších řádů řešení pro různé konstanty; u autonomní rovnice 2. řádu (bez x) přepínač ukáže i fázovou rovinu (y, y′).

Jak zadat

y' = x*yDerivace čárkou.
dy/dx = x y^2Leibnizův zápis – určí i proměnnou (dm/dt, dT/dt).
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + xZápis z fotky.
(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0Tvar M dx + N dy = 0 (exaktní rovnice).
y' = y^2 + 1, y(0) = 1Počáteční podmínka za čárkou nebo na dalším řádku.
dm/dt = m + 2, m(0) = 0Funkce a proměnná mohou mít libovolná písmena.
y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)Rovnice vyššího řádu – derivace více čárkami.
y^{(4)} + 2y'' + y = 0Vyšší derivace zápisem y^{(4)} (i z fotky).
y'' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2Počáteční podmínky y(0), y′(0) – nebo okrajové v různých bodech.
\ddot{x} + \omega^2 x = 0Newtonovy tečky (derivace podle času t) a řecké parametry.

Ukázky

Separovatelná rovnice – obecné řešení a směrové pole.
Zadání: y' = x*y
y' = x*y
y' = x*yy' = x*y
Počáteční podmínka určí konstantu C.
Zadání: y' = y^2 + 1, y(0) = 1
y' = y^2 + 1, y(0) = 1
y' = y^2 + 1, y(0) = 1y' = y^2 + 1, y(0) = 1
Lineární rovnice variací konstanty.
Zadání: y' + 2y = e^x Variace konstanty
y' + 2y = e^x
y' + 2y = e^xy' + 2y = e^x
Táž rovnice integračním faktorem.
Zadání: y' + 2y = e^x Integrační faktor
y' + 2y = e^x
y' + 2y = e^xy' + 2y = e^x
Homogenní rovnice – substituce u = y/x.
Zadání: y' = (x - y)/(x + y)
y' = (x - y)/(x + y)
y' = (x - y)/(x + y)y' = (x - y)/(x + y)y' = (x - y)/(x + y)
Bernoulliova rovnice – substituce z = y^(1−n) a konstantní řešení y = 0.
Zadání: xy' - y = -xy^2
xy' - y = -xy^2
xy' - y = -xy^2xy' - y = -xy^2xy' - y = -xy^2
Exaktní rovnice – kmenová funkce F(x, y) = C.
Zadání: (2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0
(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0
(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0(2xy + 6x)dx + (x^2 + 4y^3)dy = 0
Substituce z = x − y; Symja by tu ztratila dvojku, aplikace výsledek ověří.
Zadání: y' = cos(x - y), y(0) = pi/2
y' = cos(x - y), y(0) = pi/2
y' = cos(x - y), y(0) = pi/2y' = cos(x - y), y(0) = pi/2
Charakteristická rovnice s komplexními kořeny −2 ± 3i.
Zadání: y'' + 4y' + 13y = 0
y'' + 4y' + 13y = 0
y'' + 4y' + 13y = 0y'' + 4y' + 13y = 0
Speciální pravá strana při rezonanci – 2 je kořenem charakteristické rovnice.
Zadání: y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x) Speciální pravá strana
y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)
y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)y'' - 3y' + 2y = 3e^(2x)
Pravá strana tg x není speciální – variace konstant a wronskián.
Zadání: y'' + y = tan x
y'' + y = tan x
y'' + y = tan xy'' + y = tan xy'' + y = tan x
Počáteční úloha – soustava pro konstanty C₁, C₂.
Zadání: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
Táž úloha Laplaceovou transformací.
Zadání: y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0 Laplaceova transformace
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0y'' - 4y' + 3y = e^(2x), y(0) = 1, y'(0) = 0
Okrajová úloha s nekonečně mnoha řešeními.
Zadání: y'' + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0
y'' + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0
Eulerova rovnice – substituce x = eᵗ.
Zadání: x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2
x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2
x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2 + 2
Snížení řádu y′ = p(y), konstanty z počátečních podmínek postupně.
Zadání: y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1
y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1
y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1y'' = e^(2y), y(0) = 0, y'(0) = 1
Tlumený oscilátor – tři případy podle δ a ω.
Zadání: y'' + 2δy' + ω^2y = 0
y'' + 2δy' + ω^2y = 0
Rezonance – pro ω = 2 má řešení jiný tvar.
Zadání: y'' + ω^2y = cos(2t)
y'' + ω^2y = cos(2t)
y'' + ω^2y = cos(2t)y'' + ω^2y = cos(2t)
Uhodnuté řešení y₁ = x a snížení řádu (d'Alembert).
Zadání: (1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0
(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0
(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0

Známá omezení